混沌 5- 杜恩的公牛
啊！我們多希望能理解
天體的運動！
這是個古老的夢想......
如果有些人認為他們可以
從星相中讀出自己的命運
我們能不能預測行星間的碰撞？
能不能預測
引力是否會將行星扔到無窮遠處？
或者相反地
我們能不能期望
太陽系的運動是穩定的？
這些都是很難處理的問題！
一如往常，在數學上
面對一個非常困難的問題
我們最好先來看一些簡單點的狀況
看看這個拋物面狀的碗
如果我們滑出一顆球
它所受的重力
以及反作用力
將迫使它留在表面上
我們看到這個問題有點像
一顆被太陽吸引的行星
不過這個運動似乎太規律了
不太像一個擁有許多行星的
複雜太陽系
換一個形狀比較複雜的碗
球仍然只承受它的重量
以及碗面的反作用力
這是個真正複雜的運動
現在假設重力不存在
但保持碗面的反作用力
來聽聽科學哲學家
皮埃爾·杜恩
介紹數學家阿達馬
的其中一項成就
關於一篇發表於1898年，標題為
「相反曲率曲面上的測地線」的文章
「一個質點
在曲面上滑動
沒有重力
也沒有摩擦力阻撓它的運動
它所畫出的曲線
被幾何學家稱作
該曲面上的
測地線
當我們給定
質點的初始位置
以及其出發方向
就能完全確定
它將繪出的測地線
想像一下公牛的額頭
有牛角凸起的部份
還有連接它們中間
凹陷的部份
讓我們延長
這兩只牛角
延長到無窮遠處
我們將得到一個
我們想研究的曲面」
把牛角拉到無窮遠處？
這就是數學家的點子！
在這頭牛角延伸至無窮遠處的公牛上
擲出一顆球
我們先使用一個
看上去不同
但實際上與阿達馬測地線
相去不遠的例子：
撞球遊戲
這是一張長方形的撞球桌
我先擊出一顆球......
再用幾乎相同的方式
擊出另一顆球
太簡單了！
這兩顆球沿著相近的軌線運動
如果是橢圓形的撞球桌呢？
還是太簡單了！
同樣地，以類似的方法
擊出兩顆球
也將得到兩條相近的軌跡
這就好像
公牛頭上的測地線
只差在頭上沒有牛角
現在我們加上第一個角
一個圓形的立柱
我們再來看看這兩條軌線
它們都打中立柱
第一顆球往下折
第二顆球則折向另一個方向
它們的未來很快就變得不一樣了
這是個無限大的平面
球在其上滾動不受任何摩擦力
平面上有三個圓形的障礙
分別記做A、B和C
情況有點像
我們在擁有三個角的曲面上
觀察測地線
現在放上一顆球，並擊出去
如果瞄得夠准，母球就能依序擊中
A然後B然後C，然後A、B、C等等
一個三角形的週期軌跡
還有沒有其他週期軌跡？
阿達馬證明了一個美妙絕倫的定理
他說，如果你選擇任何
由三個字母A、B、C
組成的字串
滿足相鄰的字母
兩兩不相同
例如ABABCABC
那麼......
存在唯一一條週期軌跡
使得球依續擊中的字母
正是你先前選定的字串
看看情況有多複雜：
相應於每個字串
都有一個週期軌跡
而這樣的字串有非常多個
比如說ABCBCBCBCBC......
是一條好像只來往
B和C的軌跡
但每經過十個來回
就要私訪一次A
當然，這都要瞄準好
而且要瞄得很準！
這讓人聯想到實數
有些數
寫成十進制是週期性的
這些數是有理數
例如123/999
是0.123123123......
而2/7，是0,285714285714285714......
至於無理數
它們的十進制表示
就不是週期性的
例如圓周率π
這與我們撞球的例子相似
有些軌跡是週期性的
被一個由字母A、B、C組成的
週期字串表示
有些軌跡
被沒有週期的無限字串表示
還有剩下的軌跡
在拜訪過A、B、C一定次數後
揮手遠離
一去不復返
再回來看杜恩的公牛：
「首先，有封閉的測地線
還有一些測地線
雖然不會回到
原本的出發點
但也不會跑到無窮遠處
有些測地線
不停地繞著右邊的牛角
也有些不斷繞行左邊的牛角
還有更複雜的
根據某種規則，交替穿梭於兩牛角之間
在其中一只牛角上繞完預設的圈數後
又晃到另一只牛角上
繞行預設的圈數
在這頭公牛的額頭上
還有遠去無窮遠的測地線
有的沿著右邊的牛角盤旋直上
有的則沿著左邊的遠離」
想像一下我們的月亮
好心地陪伴在地球身邊
之後有一天，突然決定
流浪到無窮遠處......
「縱使情況如此複雜
如果我們以絕對的精準度知道
質點在公牛前額上的
初始位置
以及初始速度的方向
那麼該質點運動
所畫出的測地線
就能被完全確定
數學上，確實是如此
但實踐起來
又是另外一回事了」
請留意其中，從數學上
轉換到實踐上的微妙之處！
看看這些幾乎擁有相同出發條件的測地線
出發後一陣子
它們沿著幾乎相同的路徑前進
然後......它們分道揚鑣
紅色、綠色、藍色的測地線
有著截然不同的未來
「如果我們在曲面上
滑出一個質點
並在幾何上精確地給定
其初始位置與初始速度
那麼透過數學
就能推導出該點的軌跡
並且能知道，這道軌跡
是否會遠離至無窮遠處
不過，對物理學家而言
這些推導根本不堪使用」
到目前為止，這些只涉及到
測地線以及撞球的軌跡
這些探討，是否能應用在
我們的生活中？
例如行星的運動？
我們能否確定自己的未來？
這個問題依舊沒有答案