CHAOS 5 - 迪昂的公牛
“啊！ 我们多希望能理解
天体的运动！
这是一个古老的梦想...
不是有些人认为他们可以
从星相中读出自身的命运？
我们能否预测行星间的碰撞？
引力会将一些行星
发射到无穷远吗？
或者相反，可否期望
太阳系的运动
是稳定的？
这么多奥妙的问题！
一如往常，在数学上，
面对一个太困难问题，
最好是先来看一个简单点儿的情况。
看看这个抛物面状的碗。
如果我们滑出一粒球，
它所受的重力
和反作用力
将迫使它留在表面上。
这有点儿类似于
一颗被太阳吸引的行星。
不过这个运动似乎太规律了，
不太可能模拟一个复杂的
有多个行星的太阳系。
换一个比较怪异的碗。
球仍然只承受它的重力
和碗面的反作用力。
这粒球的运动真是很复杂。
现在假设重力不存在
但保持碗面的反作用力。
来听一下科学哲学家，
皮埃尔·迪昂，
介绍数学家阿达玛
的一项成就。
他于1898年发表了一篇论文，
题为［相反曲率曲面上的
测地线］。
一个质点
在曲面上滑动
既无重力，
亦无摩擦力阻碍它的运动。
它所画出的曲线
被几何学家称作
该曲面上的测地线。
当我们给定
质点的初始位置，
以及其出发方向，
就能完全确定
它将绘出的测地线。
想象一下一头公牛的额头，
上有牛角凸起的部份，
还有连接它们中间的
凹陷的部分[...]。
现在让我们拉长
这两只牛角，
直到它们变得无穷长。
这样我们就得到了一个
我们想要研究的曲面。
把牛角拉到无穷长？
这一定是个数学家的想法！
还要释放一小球
于这头长有无限长角的
公牛头颅上...
我们先使用一个
看上去不同
但实际上与这些测地线
相去不远的例子：
台球游戏。
这是一张长方形的台球桌。
我先击出一球...
再用几乎相同的方式
击出另一个球。
太简单了...
这两个球定是沿着相近的轨线运动。
换一个椭圆球桌如何？
还是太简单了！
同样地，
以类似方式其出的两个球，
还是得到两条相近的轨迹。
这好像公牛头上的测地线
但必需假设牛头上
无角！
让我们添加一个“角”：
一个圆形的立柱。
我们再来看看这两条轨线
它们都打中立柱，
第一个球折向一个方向，
第二个球则折向另一个方向...
它们的未来很快就变得不一样了。
这是个无限大的平面球台，
对球没有任何摩擦阻力。
台上有三个圆状障碍：
分别记做A，B和C。
情况有点儿像
一个长有三个角的曲面。
放上一球，并击出去！
如果我们瞄的非常准确的话，
小球就可能依序击中
A 然后B，然后C，然后A，B，C等等...
一个三角形的周期轨迹。
是否还有其他的周期轨道？
阿达玛证明了一个美妙绝伦的定理。
他说，如果你选择任何一个
由字母A，B，C
组成的字串，
条件是
相邻字母两两不同，
例如ABABCABC
则存在唯一一条周期轨迹，
其访问ABC障碍的顺序，
正是你预先选定的字串。
你看到情况的复杂性了吧：
相应于每个字串，
都有一个周期轨迹。
可是有很多这样的字串啊！
例如，ABCBCBCBCBC
这个轨迹
好象只来往于B和C，
但每经过十个来回，
它总要私访一次A ！
当然，这都要瞄准好才击杆，
而且要瞄得非常非常准！
这一切让人联想到实数。
有些数
写成十进制是周期性的。
这些都是有理数。
例如123／999 是
0.123123123 ...
而2/7是 0.285714 285714 285714 ...等。
无理数的十进制表示
不是周期性的...
例如圆周率π。
这与我们台球的例子很相似。
有些轨迹是周期性的
被一个由字母A，B，C组成的
周期字符串表示。
还有些是
被非周期的无限长字串表示。
还有剩下的，在访问过A，B，C
一定次数后，
挥手远离，
一去不归。
再回来看迪昂的公牛：
首先，有自封闭的测地线。
还有其他的，
虽然不会正好回到
原本的出发点，
但也不是无限远离;
有些测地线
总是圈绕右边的牛角，
另一些则偏好左边的;
还有更复杂的，根据某种规则
在两角间穿梭：
在一只牛角上绕完预设的圈数后，
又转身到另一只角上
绕行预设的圈数。
在这牛的头颅上
还有趋于无穷的
测地线：
有的沿右边牛角盘旋上升，
有的则盘沿着左边的远离。
联想一下，善良的月球，
也许会在陪伴地球多年之后
有一天会突然做出决定
远去无穷流浪...
纵使情况如此复杂，
但如果我们以绝对精度确知，
质点在这公牛头上的
初始位置
以及初始速度的方向
那么该质点的运动
所画出的测地线
就能被完全确定。 184－185
数学上，确实是如此
但实践起来
又是另外一回事了。
请留意其中，从数学上
转换到实践上的微妙之处！
看这几条测地线：
它们以几乎相同的条件出发。
在很长一段时间内
它们几乎并肩前行，然后
...它们分道扬镳！
绿色，红色和蓝色的测地线
有着截然不同的未来。
如果在这表面上
滑出一个质点，
并在几何上精确地给定
它的初始位置和速度，
那么通过数学推导
便可确定这点的轨迹
并可断言
这轨迹是否会趋于无穷。
不过，对物理学家而言，
这种推论是毫无用处的。
到目前为止，我们只涉及到
测地线或台球轨迹。
这些探讨可否应用于
日常生活中？
例如行星的运动？
这个决定［我］的未来的问题
依然没有答案！