KAOS - 5. del Duhemov bik
Ah! Razumevanje gibanja nebesnih teles,
to je starodavni sen...
Nekateri menijo, da lahko svojo usodo preberejo na nebu.
Ali lahko predvidimo trke med planeti?
Ali lahko gravitacija nekatere planete izvrže proti neskončnosti?
Ali pa naj raje pričakujemo stabilno gibanje sončnega sistema?
To so občutljiva vprašanja.
Kadar imamo v matematiki pred sabo problem, ki je prezahteven,
si raje najprej ogledamo enostavnejše posebne primere.
Oglejmo si tole parabolično skledo.
Če izstrelimo kroglico, nanjo vplivata njena teža
in reakcijska sila, ki jo ohrani na površju.
Primer je podoben planetu, ki ga privlači sonce.
Gibanje se zdi preveč pravilno, da bi lahko opisovalo
kompleksen sončni sistem s številnimi planeti.
Vzemimo skledo z izboklinami.
Krogla je še vedno pod vplivom lastne teže
in reakcijske sile s strani površja.
Gibanje je resnično zapleteno.
Odvzemimo težo krogle in obdržimo le silo površja.
Prisluhnimo Pierreu Duhemu, filozofu znanosti,
ki predstavlja delo matematika Hadamarda,
objavljeno leta 1898 v članku z naslovom
O geodezičnih ploskvah z nasprotnimi ukrivljenostmi.
»Masa snovi drsi po površini,
ne gravitacija, [...] ne trenje je ne ovirata.
Opisuje premico, ki jo geometri imenujejo
geodetska krivulja ali geodetka obravnavane ploskve.
Ko izberemo začetni položaj naše materialne točke
in smer njene začetne hitrosti,
je geodetka povsem določena.
Predstavljajmo si čelo bika z izboklinami,
iz katerih rastejo rogovi [...]
in prehodi med temi izboklinami [...],
toda podaljšajmo rogove proti neskončnosti.
Potem dobimo eno izmed ploskev, ki jo želimo preučiti.«
Podaljšati rogove v neskončnost? To je lahko le matematikova ideja.
Izstrelimo kroglo s čela bika z neskončnimi rogovi.
Najprej bomo uporabili drugačen primer, ki pa je na koncu
precej podoben Hadamardovim geodezičnim krivuljam:
igro biljarda.
Tu je pravokotna biljardna miza.
Udarimo kroglo
in nato še eno, na skoraj enak način.
Preveč enostavno.
Krogli sledita trajektorijama, ki sta si zelo blizu.
Eliptična biljardna miza?
Še vedno preveč enostavno.
Tudi tu imata krogli, ki začneta pod podobnimi začetnimi pogoji
trajektoriji, ki ostaneta blizu skupaj.
Tako, kot če bi risali geodezične krivulje
na čelo bika brez rogov!
Dodajmo rog, okroglast izrastek.
Zdaj si oglejmo bližnji trajektoriji.
Ko zadeneta izrastek, se prva izstreli v eno smer,
druga pa povsem drugam.
Njuni prihodnosti hitro postaneta zelo različni.
Na tej neskončni ravnini se krogle kotalijo brez trenja.
Imamo tri krožne ovire: imenujmo jih A, B in C.
Zdi se, kot da opazujemo geodetke
na ploskvi s tremi rogovi.
Izberimo kroglo in jo izstrelimo.
Če dobro ciljamo, bo trajektorija
zadela A, nato B, nato C, spet A, nato B in C in tako dalje.
To je periodična trikotna trajektorija.
Ali obstajajo še druge periodične orbite?
Hadamard je dokazal čudovit izrek.
Pravi, da za katerokoli besedo iz treh črk A, B, C,
ob pogoju, da so zaporedne črke različne,
na primer ABABCABC,
za vsako tako besedo obstaja natanko ena
periodična trajektorija, ki zaporedoma obišče ovire
v zaporedju njenih črk.
To kaže na kompleksnost situacije.
Za vsako besedo obstaja periodična trajektorija.
Besed pa je mnogo!
Denimo, beseda ABCBCBCBCBC
predstavlja trajektorijo, ki navidez zadane le B in C
a na vsakih 11 odbojev bo zadela tudi oviro A.
Seveda moramo meriti natančno, zelo natančno.
Vse to nas spominja na realna števila.
Nekatera imajo periodičen decimalni zapis
in to so natanko racionalna števila.
Ulomek 123/999 ima na primer decimalni zapis 0.123123123,
2/7 pa 0.285714 285714 285714 in tako dalje.
Iracionalna števila imajo decimalen zapis, ki ni periodičen.
Število pi, na primer.
Naša biljardna miza je podobna.
Nekatere trajektorije so periodične in opisane
s periodično besedo iz črk A, B, C.
Ostale so neperiodične in jih opišemo z neskončno besedo.
Ostale obiščejo A, B, C v končnem številu obiskov,
nato pa zbežijo v neskončnost in se nikdar ne vrnejo.
Tukaj je Duhemov bik:
»Najprej, obstajajo geodetke ki se sklenejo vase.
Obstajajo še druge, ki brez da bi se kdaj vrnile v svojo
izhodiščno točko, nikoli ne končajo daleč proč od nje.
Nekatere se venomer obračajo okrog desnega roga
in druge okrog levega [...].
Še druge, bolj komplicirane,
izmenjujejo obrate okrog enega z obrati okrog drugega roga,
upoštevaje določena pravila [...]
Na glavi našega bika [...] bodo geodetke,
ki gredo v neskončnost,
ene s plezanjem po desnem, druge po levem rogu [...].«
Zamislite si Luno, od pradavnin sopotnico Zemlje,
da se nenadoma odloči izstreliti v neskončnost.
»Tej komplikaciji navkljub, če poznamo povsem natanko
začetni položaj točke na čelu tega bika,
in smer začetne hitrosti,
potem bo geodezična krivulja, po kateri se točka giblje,
nedvoumno določena.
Precej drugače pa bo, če začetni pogoji
niso znani matematično, temveč le praktično.«
Občudovanja vredna prefinjenost: ne matematično, ampak praktično.
Poglejmo si geodetke, ki začno v skoraj enakih pogojih.
Dlje časa sledijo skoraj isti poti,
nenadoma pa se ločijo.
Zelena, rdeča in modra geodetka imajo povsem različne prihodnosti.
»Če se točka izstreli na obravnavani ploskvi
iz geometrijsko podanega začetnega položaja,
s hitrostjo, podano geometrijsko,
potem lahko matematična dedukcija določi njeno trajektorijo
in razišče, ali odide trajektorija v neskončnost ali ne.
Toda za fizika je ta sklep za vedno neuporaben.«
Vse, kar smo obravnavali doslej, se nanaša na geodetke
ali na trajektorije biljardnih krogel.
Ali lahko to uporabimo tudi v vsakdanjem življenju,
denimo pri gibanju planetov?
Vprašanje o napovedovanju moje prihodnosti še ni odgovorjeno.