ХАОС Глава 5 — Бык Дюэма
Ах! Как бы мы хотели понимать движение небесных тел!
Это давняя мечта…
Некоторые считают, что могут прочесть свою судьбу по расположению звёзд.
Можем ли мы предсказать столкновения планет?
Может ли гравитация отбросить планету бесконечно далеко?
Или, напротив, мы должны ожидать устойчивого движения Солнечной системы?
Это тонкие вопросы.
Как и всегда в математике, если задача оказывается слишком трудной,
следует рассмотреть более простую ситуацию.
Посмотрим на эту параболическую чашу.
На запущенный шарик действуют сила тяжести
и сила реакции опоры, которая заставляет его оставаться на поверхности.
Мы видим задачу, аналогичную той,
в которой планета притягивается к Солнцу.
Движение кажется слишком правильным,
чтобы походить на движение сложной Солнечной системы со множеством планет.
Возьмём чашу посложнее.
На шарик всё ещё действуют сила тяжести и сила реакции опоры.
Движение действительно сложное.
Давайте уберём силу тяжести,
но оставим реакцию опоры.
Послушаем Пьера Дюэма, философа науки,
представляющего работу математика Адамара,
опубликованную в 1898 году под названием
«Поверхности с противоположными кривизнами
и геодезические линии на них».
«Материальная точка скользит по поверхности;
силы тяжести нет, [...]
трение не замедляет движение точки.
Она описывает кривую, которую геометры называют
геодезической линией рассматриваемой поверхности.
Как только мы выбрали начальное положение нашей материальной точки
и направление её начальной скорости,
геодезическая полностью определена.
Представьте себе лоб быка
с выступами, откуда растут рога, [...]
и углублениями
между этими выступами; [...]
давайте начнём продлевать рога до бесконечности;
тогда мы получим одну из поверхностей, которые мы хотели бы изучить.
Продлить рога до бесконечности?
Вот идея математика!
Запускать шарик на лбу быка с бесконечно длинными рогами…
Для начала рассмотрим другой пример,
который в итоге окажется довольно близким к геодезическим Адамара:
игру в бильярд.
Вот прямоугольный стол для игры в бильярд.
Я запускаю шар…
…затем другой,
почти так же.
Слишком просто.
Два шарика двигаются по очень близким траекториям.
Эллиптический стол для бильярда?
Всё ещё слишком просто.
И этом случае два шарика, запущенные с похожими начальными условиями,
имеют близкие траектории.
Мы как будто смотрим на геодезические на лбу быка без рогов!
Добавим «рог» — круглый стержень.
А теперь посмотрим на две близкие траектории.
Они ударяются о стержень,
и первый шарик отлетает в одну сторону,
а второй — в другую.
Их последующее движение быстро становится совсем разным.
Вот бесконечная плоскость, по которой шарики могут двигаться без трения.
Здесь есть три круглых препятствия:
назовём их A, B и C.
Теперь мы будто бы смотрим
на геодезические линии поверхности с тремя рогами.
Возьмём шарик и запустим его!
Если мы хорошо прицелимся, то траектория
может задеть A, затем B, затем C, затем A, затем B, затем C и так далее...
Периодическая треугольная траектория.
Есть ли здесь другие периодические траектории?
Адамар доказал замечательную теорему.
Он утверждает, что если выбрать какое угодно слово,
записанное с использованием трёх букв A, B и C,
с условием, что любые две подряд идущие буквы различны,
например, ABABCABC,
то существует единственная периодическая траектория,
которая задевает препятствия последовательно в порядке,
соответствующем порядку букв в слове.
Вы видите сложность ситуации:
для каждого слова существует периодическая траектория.
А слов очень много!
Например, слово ABCBCBCBCBC
соответствует траектории, которая делает вид,
что задевает только B и C,
но один раз из 11
она заденет стержень A!
Несомненно, мы должны целиться точно,
очень точно!
Всё это наводит на мысль о вещественных числах.
Некоторые из них записываются в виде периодической десятичной дроби —
те, которые являются рациональными числами.
123/999, например,
это 0.123123123123…,
а 2/7 это 0.285714285714285714285714..., и так далее...
Иррациональные числа записываются
в виде непериодической десятичной дроби.
Пи, например.
С нашим бильярдным столом происходит то же самое.
Некоторые траектории периодические
и описываются периодическим словом из букв A, B и C.
Другие — непериодические и описываются бесконечным словом.
Третьи задевают стержни A, B и C только конечное число раз,
а затем уходят на бесконечность и никогда не возвращаются.
Вернёмся к примеру с быком, описанному Дюэмом:
«Во-первых, есть геодезические,
которые замыкаются на себя.
Также есть другие,
которые никогда не возвращаются
в свою начальную точку,
но при этом не уходят бесконечно далеко от неё;
некоторые постоянно вращаются
вокруг правого рога,
некоторые — вокруг левого [...];
другие, более сложные,
вращаются попеременно вокруг одного и второго рога,
следуя определённым правилам. [...]
На голове нашего быка [...]
будут геодезические,
уходящие на бесконечность,
одни — вскарабкиваясь по правому рогу,
а другие — по левому [...]».
Представьте себе, что Луна, постоянный спутник Земли,
внезапно решила её оставить и устремиться к бесконечности.
«Несмотря на это усложнение,
если мы знаем с абсолютной точностью
начальное положение точки на голове быка
и направление начальной скорости,
то геодезическая, вдоль которой движется точка,
однозначно определена.
Но всё меняется, если начальные условия
заданы не математически, а на практике».
Оцените разницу:
не математически, а практически!
Посмотрите на эти геодезические с похожими начальными условиями.
Они движутся почти по одному и тому же пути некоторое время, а потом
…они разделяются!
Зелёная, красная и синяя геодезические
в будущем совершенно различны.
«Если точка была запущена на поверхности
с геометрически заданной позиции,
с геометрически заданной скоростью,
то математический расчёт определит траекторию движения точки
и определит, удаляется она на бесконечность или нет.
Но для физика такой расчёт непригоден».
Пока всё это касалось геодезических или движения бильярдных шаров.
Можем ли мы применить то же самое к нашей повседневной жизни,
например, к движению планет?
Вопрос предсказания моего будущего
всё ещё остаётся без ответа.