CHAOS5- O touro de Duhem
Ah! … como gostariamos de compreender
O movimento dos objetos celestes.
É um velho sonho…
Alguns não tentam até ler seus destinos
na posição dos astros?
Podemos prever as colisões entre os planetas?
A gravitação, será que poderia ejetar
alguns planetas para o infinito?
Ou, ao contrário,
será que devemos contar com a estabilidade
do movimento sistema solar?
Estas são questões bem delicadas!
Como sempre em matemática,
frente a um problema por demais difícil,
procuramos, inicialmente, uma situação mais simples.
Veja esta cuba
em forma de parábola.
Se lançarmos uma bola,
ela estará submetida a seu peso
e à força de reação
que a obriga a permanecer sobre a superficie.
Vemos que o problema é análogo
ao de um planeta
atraído pelo sol.
O movimento parece muito regular,
para se assemelhar a um sistema solar complexo
com muitos planetas.
Tomemos uma cuba um pouco mais complicada.
A bola está sempre submetida à seu peso
e à força de reação da superfície.
O movimento é realmente complicado.
Tiremos o peso da bola
mas deixemos a força de reação da superficie.
E escutemos Pierre Duhem,
o filósofo da ciência,
apresentar os trabalhos
do matemático Hadamard,
publicado em 1898, num artigo intitulado :
" Geodésicas em Superfícies
de Curvatura Negativa».
" Uma massa material
desliza sobre uma superfície ;
sem gravidade, [...]
sem atrito dificultando o seu movimento.
Ela descreve uma linha
que os geômetras chamam
de linha geodésica
da superfície em questão.
Uma vez dadas a posição inicial
de nosso ponto material
e a direção de sua velocidade inicial,
a geodésica que ela deve descrever
está bem determinada.
Imaginemos a testa de um touro
com saliências onde começam os chifres [...]
e vincos que se cruzam
entre estas saliências;
alonguemos sem limites
estes chifres […],
de tal modo que se estendam ao infinito;
teremos uma destas superfícies
que desejamos estudar.»
Alongar os chifres até o infinito?
Eis uma ideia típica de matemáticos!
Lançar uma bola
na testa de um touro
que terá os chifres esticados até o infinito…
Vamos utilizar
um exemplo diferente
mas, no fim das contas, bem próximo
das geodésicas de Hadamard:
o jogo de bilhar.
Eis qui uma mesa de billar rectangular.
Eu lanço uma bola
depois outra,
quase da mesma maneira.
Simples demais…
As duas bolas seguem trajetórias parecidas.
Uma mesa de bilhar elíptica?
Continua simples demais!
Aqui também, as duas bolas que partem
em condições iniciais próximas
têm trajetórias que permanecem próximas.
É um pouco como se observássemos
as geodésicas sobre a testa de um touro
que não tivesse chifres!
Coloquemos um primeiro chifre,
um bloco circular.
Veja, agora, duas trajetórias próximas…
Elas batem no bloco circular,
a primeira parte de um lado
e a segunda, do outro …
Seus destinos se tornam, rapidamente,
muito diferentes.
Aqui temos um plano infinito
onde as bolas podem rolar sem atrito.
Sobre este plano, existem três obstáculos circulares:
vamos chamá-los de A, B e C.
É mais ou menos como se
observássemos as geodésicas
sobre uma superfície com três chifres.
Lancemos uma bola!
Se mirarmos bem, a trajetória pode bater
em A depois em B depois em C depois em A depois em B depois em C etc...
uma trajetória periódica triangular
Existem outras órbitas periódicas?
Hadamard demonstra um teorema magnífico…
Ele afirma que se você escolher
qualquer palavra
escrita com as tres letras ABC
com a condição de que duas letras consecutivas
sejam diferentes,
por exemplo ABABCABC,
então,
existe uma única trajetória periódica
que visita sucessivamente os blocos na ordem
ditada pela palavra em questão.
Veja a complexidade da situação:
para cada palavra
há uma trajetória periódica.
E existem muitas palavras!
Por exemplo, a palavra ABCBCBCBCBC
É uma trajetória que parece
rodar entre B e C,
e que uma vez a cada 11 rebotes
vai bater no bloco A!
É claro, é preciso mirar bem,
Mirar muito bem.
Isso lembra os números reais.
Alguns entre eles
têm uma escrita decimal periódica,
são os números racionais.
123/999, por exemplo, é
0,123123123...
e 2/7 é 0,285714285714285714…etc.
Os números irracionais,
estes têm uma escrita decimal
que não é periódica…
π por exemplo.
E bom, com nosso bilhar é parecido.
Algumas trajetórias são periódicas
E são descritas por uma palavra
peródica com as letras A, B, C.
Outras são descritas
por uma palavra infinita não periódica.
E outras, por fim,
repetem A, B, C um número finito de vezes,
e depois… partem para o infinito
sem jamais voltar.
Observemos o touro de Duhem:
"Primeiro, existem geodésicas
fechadas em si mesmas.
Existem também umas que
sem nunca voltarem exatamente
ao seu ponto de partida,
também nunca se afastam infinitamente;
umas giram sempre
em torno do chifre direito,
outras, em torno do chifre esquerdo, [...]
e, outras, mais complicadas,
alternam seguindo certas regras
as voltas que descrevem em torno de um chifre
com os aquelas que descrevem
em torno do outro, [...].
Sobre a testa de nosso touro[...],
haverá geodésicas
que irão ao infinito,
umas gravitando em torno do chifre direito
e outras, gravitando em torno do chifre esquerdo, [...].»
Imagine se a Lua,
depois de ficar gentilmente
próxima à Terra
decidisse, de repente,
partir para o infinito…
«Apesar desta complexidade,
se conhecemos exatamente
a posição inicial de um ponto material
sobre a testa do touro,
e a direção da velocidade inicial,
a linha geodésica que este ponto
seguirá no seu movimento
estará definida sem nenhuma ambiguidade.
Será bem diferente
se as condições iniciais
não forem conhecidas matematicamente,
mas sim praticamente”
Observem a sutileza!
não matematicamente mas sim praticamente!
Veja estas geodésicas que partem
quase nas mesmas condições.
Durante um bom tempo
elas seguem quase o mesmo caminho
e depois... elas se separam.
As geodésicas verde, vermelha e azul
seguem destinos totalmente diferentes.
"Se um ponto material for lançado
sobre a superficie estudada
a partir de uma posição geometricamente dada,
com uma velocidade geometricamente dada,
a dedução matemática
pode determinar a trajetória deste ponto
e dizer se esta trajetória
vai ou não ao infinito.
Mas, para o físico,
esta dedução será sempre inútilizavel."
No momento tudo isto se relaciona a geodésicas
e a trajetórias do bilhar.
Será que isto pode ser aplicado
à vida quotidiana?
Ao movimento dos planetas, por exemplo?
A pergunta sobre a determinação do meu futuro
continua sem resposta!!!