CHAOS 5- De stier van Duhem
Ach wat zouden we graag
de bewegingen van de hemellichamen begrijpen!
Dat is een oude droom ...
Sommigen denken dat hun toekomst
in de sterren geschreven staat.
Kunnen we botsingen tussen planeten voorspellen?
Zou de zwaartekracht sommige planeten
kunnen wegduwen uit ons zonnestelsel?
Of moeten we eerder verwachten
dat de beweging van het zonnestelsel
stabiel blijft?
Dit zijn subtiele vragen!
Geconfronteerd met zo’n moeilijk probleem
probeert een wiskundige eerst
een eenvoudigere situatie te bestuderen.
Kijk eens naar deze schaal
in de vorm van een parabool.
Als je een bal laat rollen,
dan is die onderhevig aan zijn gewicht
en aan de reactiekracht
die hem op het oppervlak van de schaal houdt.
We zien dat de beweging
erg lijkt op de beweging van een planeet
die aangetrokken wordt door een zon.
Maar de beweging is te regelmatig om ons iets te
leren over een complex zonnestelsel
met veel planeten.
We nemen dus een schaal met een meer ingewikkelde vorm.
De bal is nog altijd onderhevig aan zijn gewicht
en aan de reactiekracht van de schaal.
Zijn beweging is nu echt ingewikkeld.
We verwijderen het gewicht van de bal
maar behouden de reactiekracht van het oppervlak.
Luister liever naar Pierre Duhem,
een wetenschapsfilosoof,
die het werk presenteert van
de wiskundige Hadamard
gepubliceerd in 1898 in het artikel
<< Over geodeten op oppervlakken
met tegengestelde kromming.>>
"Een massa glijdt
op een oppervlak;
er is geen zwaartekracht, [...]
en geen wrijving die de beweging belemmert .
De lijn die de massa volgt
noemen meetkundigen
een geodetische lijn
van het oppervlak in kwestie.
Deze geodeet
is volledig bepaald
als we de beginpositie van ons punt
en de richting
van de beginsnelheid vastleggen."
Stel je het voorhoofd van een stier voor,
met uitstulpingen waar de hoorns groeien [...]
en de ruime tussen de hoorns
die eruit ziet als een bergpas;
maar laten we de hoorns
zeer lang maken [...]
zodanig dat zij zich uitstrekken tot in het oneindige;
zo bekomen we een van de oppervlakken
die we willen bestuderen. "
Oneindig lange hoorns?
Dat moet wel het idee van een wiskundige zijn!
Een bal lanceren
op het voorhoofd van een stier
met oneindig lange hoorns ....
We zullen een ander voorbeeld gebruiken,
maar een dat uiteindelijk nauw aansluit
bij de geodeten van Hadamard:
het biljartspel.
Hier is een rechthoekige biljarttafel.
Ik schiet een bal weg
nog een,
op nagenoeg dezelfde wijze.
Te eenvoudig ...
De twee ballen volgen banen die dicht bij elkaar blijven
Een biljarttafel in de vorm van een ellips?
Nog altijd te eenvoudig.
Twee ballen die vanuit een
gelijkaardige begintoestand vertrekken,
volgen nog altijd banen dicht bij elkaar
Het is alsof we geodeten bekijken
op het voorhoofd van een stier
zonder hoorns!
We zetten een eerste hoorn op de tafel :
een ronde top.
Kijk nu naar twee banen dicht bij mekaar.
Ze raken de top,
de eerste gaat de ene kant uit
en de tweede de andere...
Hun toekomst wordt al snel
heel verschillend.
Hier is een oneindig vlak
waarop ballen kunnen rollen zonder wrijving.
Op dit vlak zijn er drie ronde hindernissen:
we noemen ze A, B en C.
Het is een beetje alsof
we geodeten bekijken
op een oppervlak met drie hoorns.
We nemen een bal en schieten hem weg!
Als we goed mikken, kan de baan botsen
op A en dan B, dan C, dan A en dan B, dan C
...een periodische, driehoekige baan.
Zijn er nog andere periodieke banen?
Hadamard heeft een fantastische stelling bewezen.
Die zegt dat
als je een woord schrijft
met de drie letters ABC,
met de voorwaarde dat
twee opeenvolgende letters verschillend zijn,
bijvoorbeeld ABABCABC,
wel,
dat er dan unieke periodieke baan
is die de toppen raakt in de volgorde
voorgeschreven door het woord in kwestie.
Je ziet hoe complex de situatie is:
voor elk woord
is er een periodieke baan.
En er zijn veel woorden!
Neem bijvoorbeeld het woord ABCBCBCBCBC
Dit levert een baan
die doet alsof ze enkel tussen B en C botst,
maar eenmaal per 11 botsingen
botst ze toch op A!
Hiervoor moeten we natuurlijk wel goed,
heel goed mikken!
Dit doet denken aan de reële getallen.
Sommige van hen hebben
een periodieke decimale notatie,
namelijk de rationale getallen.
123 gedeeld door 999 bijvoorbeeld is
0,123 123 123 123 ...
en 2 gedeeld door 7 is 0,285714 285714 ... enz..
Irrationale getallen van hun kant
hebben een decimale notatie
die niet periodiek is
...pi bijvoorbeeld.
Wel, voor onze biljart is dat ook zo.
Sommige banen zijn periodiek
en worden beschreven door
een periodiek woord met de letters A, B, C.
Andere worden beschreven
door een niet-periodiek oneindig lang woord.
En weer andere
bezoeken A, B, C een eindig aantal keren,
en vertrekken dan naar oneindig
zonder ooit terug te keren.
Bekijk opnieuw de stier van Duhem:
" Om te beginnen zijn er geodeten
die een gesloten kromme vormen.
Er zijn er ook die,
zonder ooit terug te keren
naar hun beginpunt er toch nooit
oneindig ver van weg gaan.
Sommige draaien onophoudelijk
rond de eerste hoorn,
en andere rond de tweede. [...]
Nog andere, meer gecompliceerde geodeten
draaien afwisselend
volgens bepaalde regels
een aantal keer rond de eerste hoorn
en aan aantal keer rond de tweede,[...]
Op het voorhoofd van onze stier [...]
zijn er ook geodeten
die naar oneindig gaan,
de ene klimmen op de rechter hoorn,
de andere op de linker ,[...]
Stel je voor dat de Maan,
die altijd braaf
in de buurt van de Aarde gebleven is,
opeens zou besluiten
om naar oneindig te vertrekken ....
Ondanks deze complicatie
bepaalt de beginpositie
en de beginsnelheid van een punt
op het voorhoofd van de stier
ondubbelzinnig de geodetische lijn
die het punt zal volgen.
Op voorwaarde dat we die begintoestand
met een absolute nauwkeurigheid kennen!
Dit wordt helemaal anders
als de begintoestand
niet wiskundig gekend is,
maar alleen maar in de praktijk.”
Let op het subtiele verschil:
niet wiskundig, maar in de praktijk!
Bekijk deze geodeten die starten
vanuit bijna dezelfde begintoestand.
Ze volgen enige tijd
nagenoeg dezelfde baan en dan
... gaan ze hun eigen weg!
De groene, rode en blauwe lijnen
hebben ieder een totaal andere toekomst.
“Dus: als we een punt
loslaten op een oppervlak,
vanuit een beginpositie en met een beginsnelheid
die meetkundig bepaald zijn,
dan kan men wiskundig de baan
van dit punt berekenen
en bepalen of het punt
op de duur naar oneindig gaat of niet.
Maar voor de natuurkundige
is deze berekening volledig onbruikbaar.”
Tot nu toe hebben we geodetische lijnen
en banen op een biljart bekeken.
Kan dit alles ook in het
dagelijkse leven toegepast worden?
...bij de beweging van planeten, bijvoorbeeld?
De vraag om mijn toekomst te voorspellen
blijft nog steeds onbeantwoord!