CHAOS 5- Duhem's bull
Ah! … memahami
pergerakan cakerawala!
Inilah impian lama ...
Sesetengah orang berfikir bahawa mereka dapat
meramal takdir mereka daripada langit.
Bolehkah kita meramal perlanggaran antara planet-planet?
Bolehkah graviti mencampakkan
planet-planet ke infiniti?
Wajarkah kita
mengharapkan pergerakan yang stabil
dalam sistem solar?
Pertanyaan yang susah!
Dalam matematik,
apabila menghadapi masalah yang terlalu susah,
baik kita mencari situasi yang lebih mudah.
Lihatlah mangkuk ini yang berbentuk parabola.
Sekiranya kita melancarkan bola
ia tertakluk kepada beratnya
dan kuasa reaksi
yang memaksanya kekal pada permukaan.
Kita boleh melihat bahawa masalah ini adalah serupa
dengan masalah planet
yang tertarik oleh matahari.
Pergerakan tersebut seakan-akan terlalu berkala
untuk menyerupai sistem solar yang kompleks
dengan planet yang banyak.
Ambillah mangkuk yang lebih rumit.
Bola tersebut masih tertakluk kepada beratnya
dan kepada kuasa reaksi permukaan tersebut.
Pergerakan tersebut amat rumit.
Marilah kita mengeluarkan berat bola tersebut
tetapi mengekekalkan kuasa reaksi pada permukaannya.
Dengar perkataan Pierre Duhem,
ahli falsafah sains,
membentangkan hasil kerja
Hadamard, seorang ahli matematik,
yang diterbitkan pada 1898 dalam sebuah artikel yang bertajuk
"Atas permukaan geodesik
dengan kelengkungan yang bertentangan."
Sesuatu bahan dengan jisim
meluncur pada sesuatu permukaan;
tanpa graviti, [...]
pergerakan nya tidak dihindar oleh kuasa geseran.
Ia menggambarkan sesuatu garisan
yang dipanggil oleh ahli geometri sebagai
lengkung geodesik
pada sesuatu permukaan yang sedang ditimbangkan.
Apabila kita memilih kedudukan asal untuk
titik bahan tersebut
dan arah untuk halaju asalnya,
geodesik tersebut telah ditentukan secara keseluruhannya.
Bayangkan dahi seekor lembu jantan,
dengan jorokan dari mana tanduknya dilanjutkan [...]
dan rongga-rongga
antara jorokan tersebut [...]
marilah kita melanjutkan tanduk tersebut
ke infiniti;
maka kita akan mendapat salah satu
permukaan yang ingin kita kaji.
Melanjutkan tanduk ke infiniti?
Tentulah idea ahli matematik!
Melancarkan bola
pada dahi lembu jantan
dengan tanduk yang panjang sehingga infiniti…
Pada mulanya kita akan menggunakan
contoh yang berbeza,
tetapi contoh yang akhirnya akan menyerupai
geodesik Hadamard:
permainan biliard.
Inilah meja billiard berbentuk segi empat.
Saya melancarkan bola…
…kemudian bola yang lain,
dalam cara yang hampir sama.
Terlalu mudah...
Kedua-dua bola tersebut mengikut trajektori yang hampir sama.
Meja biliard berbentuk elips?
Masih terlalu mudah!
Di sini juga, kedua-dua bola yang bertolak
dalam keadaan yang serupa
mempunyai trajektori yang masih hampir sama.
Seakan-akan kita sedang
melukis geodesik pada dahi lembu jantan
tanpa tanduk!
Marilah kita menambahkan sesuatu ‘horn’ :
bonggol berbentuk bulat.
Lihatlah dua trajektori yang berhampiran.
Mereka melanggar bonggol tersebut
bola yang pertama mula menuju ke sesuatu arah,
manakala bola yang lain bergerak ke arah yang berbeza…
Masa depan mereka menjadi amat berbeza dengan segera.
Inilah satah infinit di mana bola
boleh bergolek tanpa geseran.
Terdapat tiga halangan berbentuk bulat:
marilah kita memanggil mereka A, B dan C.
Sekarang kita seakan-akan memerhati
geodesik pada permukaan dengan tiga tanduk.
Marilah kita mengambil sebiji bola dan melancarkannya!
Jika kita menyasar dengan baik, trajektori tersebut boleh
mengena A lalu B lalu C lalu A lalu B lalu C dan sebagainya...
trajektori segi tiga yang berkala.
Adakah permukaan ini mempunyai orbit berkala yang lain?
Hadamard membuktikan teorem yang indah.
Dia mengatakan bahawa jika kamu memilih sebarang
perkataan yang ditulis dengan
huruf ABC
dengan syarat bahawa
huruf berturut-turut adalah berbeza,
contohnya ABABCABC
…maka wujud
trajektori berkala yang unik
yang melanggar bonggol tersebut secara berturut-turut
dalam urutan yang diberikan oleh perkataan yang dipilih.
Kamu perlu melihat kerumitan keadaan tersebut:
untuk setiap perkataan,
terdapat trajektori berkala.
Tetapi terdapat banyak perkataan!
Sebagai contoh, perkataan ABCBCBCBCBC
merupakan trajektori yang berpura-pura
hanya melanggar B dan C,
tetapi bagi setiap 11 lantunan
trajektorinya akan melanngar bonggol A!
Tentulah kita perlu menyasar dengan tepat,
amat tepat!
Keadaan ini menyebabkan kita memikirkan nombor nyata.
Sesetengah nombor nyata
mempunyai perwakilan perpuluhan yang berkala,
dan inilah nombor rasional.
Sebagai contoh, 123/999 ialah
0.123123123…
dan 2/7 ialah 0.285714 285714 285714 ...dan sebagainya
Nombor tidak rasional mempunyai
perwakilan perpuluhan
yang tidak berkala...
Sebagai contoh, pi.
Meja biliard kita adalah serupa.
Sesetengah trajektori adalah berkala
dan boleh digambarkan oleh
perkataan berkala dalam huruf A, B, C.
Trajektori lain adalah tidak berkala
dan boleh digambarkan dengan perkataan yang infinit.
Juga terdapat trajektori yang melanggar A, B, C
untuk beberapa kali, lalu
...terlepas ke infiniti
dan tidak pernah kembali.
Inilah lembu jantan Duhem:
«Pertamanya, terdapat geodesik
yang tertutup dalam badan sendiri.
Terdapat geodesik lain yang,
tanpa kembali
kepada titik permulaan mereka
tidak pernah menjauhinya secara infiniti;
sesetengah antaranya melingkar
di sekitar tanduk kanan,
yang lain, tanduk kiri […];
trajektori yang lebih rumit,
bertukar ganti antara salah satu tanduk
dengan lingkaran di tanduk yang lain,
dengan mengikuti hukum yang tertentu [...]
Pada kepala lembu jantan kita[...]
terdapat geodesik
yang akan menuju ke infiniti,
sesetangahnya dengan memanjat tanduk kanan,
yang lain, tanduk kiri [...].»
Bayangkan Bulan,
yang sentiasa menjadi
teman Bumi,
tiba-tiba membuat keputusan
untuk bertolak ke arah infiniti.
«Walapun terdapat kerumitan tersebut,
sekiranya tiada orang mempunyai pengetahuan yang tepat
tentang kedudukan asal sesuatu titik
pada dahi lembu jantan tersebut,
dan arah halajunya,
maka geodesik yang akan diikuti
oleh titik tersebut semasa pergerakannya
akan ditentukan secara keseluruhannya.
Keadaan tersebut akan berbeza
sekiranya keadaan asal
tidak diketahui secara matematik,
tetapi secara praktikal "
Menghargai kehalusan:
bukan dari aspek matematik tetapi secara praktikal!
Lihatlah geodesik tersebut yang bermula
dalam keadaan yang hampir sama.
Mereka mengikuti jalan yang hampir sama
untuk seketika, dan kemudian
... mereka memisah!
Geodesik hijau, merah dan biru
mempunyai masa depan yang amat berbeza.
«Sekiranya sesuatu titik dilancarkan
pada permukaan yang sedang dikaji
dari kedudukan yang diberi secara geometrik,
dengan kelajuan yang diberi secara geometrik,
maka deduksi matematik
dapat menentukan trajektori
titik tersebut dan menentukan
sama ada trajektori tersebut terlepas ke infiniti atau tidak.
Tetapi bagi ahli fizik, "
deduksi tersebut sentiasa tidak dapat diguna pakai.»
Setakat ini konsep tersebut dapat diaplikasikan pada geodesik
atau trajektori bola biliard.
Dapatkah konsep tersebut diaplikasikan
dalam kehidupan seharian,
contohnya dalam pergerakan planet?
Persoalan menentukan masa depan saya
masih tidak dijawab!