CHAOSAS 5 - Duhem'o jautis
Ak! Dangaus kūnų
judėjimo supratimas!
Tai yra labai sena svajonė...
Kai kurie žmonės tiki, kad gali
perskaityti savo likimą danguje.
Ar mes galime nuspėti planetų susidūrimus?
Ar gali gravitacija leisti
planetoms nutolti į begalybę?
Ar, priešingai,
mes turėtume tikėtis
Saulės sistemos stabilumo?
Tai - labai subtilūs klausimai!
Matematikoje visada, kai
susiduriama su sudėtinga problema,
pirmiausia išnagrinėjama paprastesnė situacija.
Stebėkime šį parabolės
formos dubenį.
Jei paleidžiame kamuoliuką,
jį veikia sunkio jėga
ir dubens reakcijos jėga,
kuri priverčia jį likti ant paviršiaus.
Matome, kad problema yra
analogiška Saulės
traukiamos planetos problemai.
Judėjimas atrodo per nelyg pastovus,
kad primintų sudėtingą daugybės
planetų sistemos elgesį.
Paimkime kiek sudėtingesnį dubenį.
Kamuoliuką sunkio jėga veikia lygiai taip pat,
kaip ir paviršiaus reakcijos jėga.
Judėjimas yra išties komplikuotas.
Pašalinkime kamuoliuko sunkį,
tačiau palikime reakcijos jėgą.
Paklausykime Pjero Duhen'o,
mokslo filosofo,
pristatančio matematiko
Hadamar'o darbą,
išspausdintą 1898 straipsnyje, pavadinimu
,,Apie geodeziją ant paviršių su
priešingais iškrypimais''.
,,Kažkokia materiali masė
slysta paviršiumi;
nėra gravitacijos, [...]
jokia trintis netrikdo judėjimo.
Gauname kreivę,
kurią geometrai vadina
geodezine paviršiaus kreive.
Kai pasirenkame pradinę savo
materialaus taško poziciją
ir pradinio greičio kryptį,
geodezinė kreivė yra
pilnai apibrėžta.
Įsivaizduokime jaučio galvą
su išsikišimais, kurie pratęsiami ragais [...],
ir su praėjimais
tarp šių išsikišimų [...],
tačiau ragus pratęskime taip,
kad jie pratęsiami
iki begalybės.
Gausime paviršių,
kurį norime nagrinėti.''
Pratęsėme ragus į begalybę?
Tai jau tikrai matematiko idėja!
Paleidžiame kamuoliuką
nuo buliaus galvos
su begalinai ilgais ragais...
Pirmiausia naudosime
kitokį pavyzdį,
tačiau kuris yra labai panašus
į Hadamar'o geodeziją:
biliardo žaidimą.
Tai yra stačiakampis biliardo stalas.
Aš mušu kamuoliuką...
tada kitą,
beveik tokiu pačiu būdu.
Per lengva...
Du kamuoliukai turi dvi labai panašias trajektorijas.
Elipsiškas biliardo stalas?
Vis tiek per lengva!
Čia taip pat, du kamuoliukai, kurie
pradeda panašiomis pradinėmis sąlygomis,
visada būna labai arti vienas kito.
Tarsi pieštume trajektorijas
ant jaučio galvos
be ragų!
Pridėkime ,,ragą'':
apvalainį kaištį.
Žiūrėkime dabar į dvi panašias trajektorijas.
Jos atsimuša į kaištį
ir viena jų toliau tęsia savu keliu,
o kita visiškai kitokiu...
Jų ateitys akimirksniu tampa
labai skirtingos.
Štai yra begalinė plokštuma, kuria
kamuoliukai gali riedėti be trinties.
Yra trys apvalios kliūtys:
pavadinkime jas A, B ir C.
Dabar čia gavome
kažką panašaus į geodezinę kreivę
ant paviršiaus su trimis ragais.
Paimkime kamuoliuką ir jį iššaukime!
Jei gerai prisitaikysime, kamuoliukas gali
pataikyti į A, tada į B, po to į C, tada į A, į B ir t.t. ...
Periodinis trikampis judėjimas.
Ar yra kitokių periodinių judėjimų?
Hadamar'as įrodo labai gražią teoremą.
Jis teigia, kad, jei paimame
kažkokį žodį, užrašytą naudojant
tris raides A,B,C
su sąlyga, kad dvi
gretimos raidės yra skirtingos,
pavyzdžiui, ABABCABC,
tuomet yra vienintelė
periodinė trajektorija,
kuri paeiliui liečia kaiščius
ta tvarka, nurodyta žodyje.
Matote situacijos sudėtingumą:
kiekvienam žodžiui
yra periodinė trajektorija.
Tačiau žodžių yra gausybė!
Pavydžiui, žodis ABCBCBCBCBC
atitinka trejektoriją, kuri
mušinėsis tik tarp B ir C,
tačiau kiekvienuose 11 atsimušimų
ji pataikys į A!
Žinoma, reikia labai tiksliai nusitaikyti.
Itin tiksliai!
Visa tai verčia galvoti apie realiuosiu skaičius.
Kai kurie jų turi periodinę
dešimtainę išraišką,
tai yra racionalieji skaičiai.
pvz., toks yra 123/999:
0.1231231...
panašiai, 2/7 yra 0.285714 285714 285714 ... t.t.
Irracionalūs skaičiai turi
neperiodinę dešimtainę išraišką.
Pavyzdžiui, Pi.
Mūsų biliardo stalas yra panašus.
Kai kurios trajektorijos yra periodinės
ir yra apibūdinamos
periodiniu žodžiu iš raidžių A,B,C.
Kitos yra ne periodinės
ir yra apibūdinamos begaliniu žodžiu.
Kai kurios A,B,C aplanko
baigtinį skaičių kartų, o tada
nutolsta į begalybę
ir niekada nebesugrįžta.
Štai Duhem’o jautis:
,,Pirmiausia, yra geodezinės kreivės,
kurios save uždaro.
Yra kitos, kurios,
niekada nesugrįžta į
pradinį tašką ir niekada
nenutolsta labai toli nuo jo;
kai kurios vis suka
apie dešinijį ragą,
kitos apie kairįjį [...];
dar kitos, sudėtingesnės,
paeiliui keičia ratus apie vieną ragą
į ratus apie kitą,
paklūsdos tam tikroms taisyklėms [...].
Ant mūsų buliaus galvos [...]
turėsime ir kreives, kurios
nueis į begalybę:
vienos kildamos dešiniuoju ragu,
kitos - kildamos kairuoju [...].''
Įsivaizduokime, kad Mėnulis,
kuris visada buvo
Žemės kompanjonas,
staiga nusprendžia
nuskrieti į begalybę...
,,Nepaisant viso sudėtingumo,
jei absoliučiai tiksliai žinome
pradinę taško poziciją
ant jaučio galvos
ir pradinio greičio kryptį,
tuomet geodezinė šio paviršiaus kreivė
materialiam taškui judant
bus vienareikšmiškai nulemta.
Ji bus gerokai kitokia,
jei pradinės sąlygos
bus žinomos ne matematiškai,
o praktiškai.''
Mėgaukimės subtilumu -
ne matematiškai, o praktiškai!
Stebėkime kreives, kurios pradeda
beveik identiškomis sąlygomis.
Kurį laiką jos keliauja
tuo pačiu keliu, o tada...
jos išsiskiria!..
Žalia, raudona ir mėlyna kreivės
turi visiškai skirtingus likimus.
,,Jei kūną paleidžiame
ant nagrinėjamo paviršiaus
iš geometriškai duotos pozicijos
su grečiu, kuris yra duotas geometriškai,
tuomet matematine dedukcija
galime nustatyti šio kūno trajektoriją
ir numatyti, ar
ši trajektorija nueis į begalybę, ar ne.
Tačiau fizikui
tokia dedukcija niekada nėra naudinga.''
Taigi, visa ši teorija pritaikoma tik
geodezinėms kreivėms ir biliardui.
Ar galime tą
pritaikyti gamtoje, tarkime,
planetų judėjimui?
Klausimas apie mano ateitį
išlieka neatsakytas!