カオス５ デュエムの雄牛
ああ！天体の運動を
理解したい．
それは昔からの夢だ…
天体の配置から自分たちの運命がわかると
思っている人もいるのではないだろうか？
惑星の衝突を予測できるだろうか？
重力によって惑星が，無限の彼方に
放り出されることがあるだろうか？
逆に太陽系の運動は
安定だと
期待できるだろうか？
これらはデリケートな問題だ．
数学ではいつもそうだが，
難し過ぎる問題が出てきたら，
まず，より簡単な場合をあつかう．
この放物面の
ボールを使おう．
玉を転がすと，その玉には重力と，
玉を面の上に
押しとどめる
反作用の力が働く．
この問題は，
太陽に引っ張られた惑星の問題に
似ていることがわかる．
この運動は，多くの惑星からなる
複雑な太陽系の運動とは違って，
規則的過ぎるように見える．
もう少し複雑な形のボールに取り換えよう．
前と同じように，玉には重力と
面からの反作用の力が働く．
この運動は，本当に複雑だ．
玉の重さがゼロになって，
面の反作用だけがあるとしよう．
ここで，科学哲学者
ピエール・デュエムが，
数学者アダマールの仕事を
紹介しているのを聞こう．
「逆の曲率を持つ曲面上の測地線について」
という1898年に出版された
論文に書かれているものだ．
「質点が曲面上を
滑っている；重力はなく，[…]
運動を阻害する
摩擦力も全くないとする．
質点は，幾何学者が
この曲面の
測地線と呼ぶ
曲線を描く．
質点の最初の位置と
最初の速度の方向を
定めると，
質点が描く
測地線は決定される．
雄牛の額と
角が生えている突起と［…］
その突起の間の
峠のような部分を考えよう；
ここで，角を無限に伸ばして［…］，
それらは無限遠まで
伸びているとしよう；
こうして，研究対象の
曲面が得られる．」
角を無限に伸ばすって？
いかにも数学者の考え方だ！
玉を無限に長い
角をもった雄牛の
額の上で転がすのだ…
違う運動であるが，
最後には，
アダマールの測地線と
ほとんど同じになる運動を考えよう：
ビリヤードだ．
長方形のビリヤード台がある．
玉を転がす…
次の玉を
ほとんど同じように転がす．
簡単過ぎる！
２つの玉は非常に近い軌道を描く．
楕円のビリヤード台ではどうなるだろう？
これも簡単過ぎる！
ここでも，
非常に近い初期条件を持つ玉は，
非常に近い軌道を描く．
これは，角をもたない雄牛の
額の上の測地線を
観察するのと似ている．
１つ目の角をつけよう．
円形の角だ．
近い点から始まる２つの軌道に注目しよう．
軌道は角に当たり，１つ目は片側に，
２つ目は反対側に
行ってしまう．
これらの軌道はすぐに…
全く違ったものになる．
さて，無限の平面上で，
玉が摩擦なく転がるとしよう．
この平面上に円形の障害物があるとする：
Ａ，Ｂ，Ｃだ．
状況は，
３つの角を持つ曲面上の
測地線を観察するのと似ている．
玉を置いて，転がそう．
良くねらいをつければ，軌道は，
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ａ，Ｂ，Ｃ，…の順に当たり，
三角形の周期軌道を描くだろう．
他にも，周期軌道があるだろうか？
アダマールは，すばらしい定理を示した．
彼によれば，
３つの文字
Ａ，Ｂ，Ｃで書かれ，
隣同士が異なる
任意の単語，
例えばABABCABC,
に対し…
その順番で円板に当たる
周期軌道が
ただ１つ存在する．
状況が複雑だということがわかるかな：
それぞれの単語に対し，
周期軌道が存在する．そして，
単語はいくらでもあるのだ！
例えば，ABCBCBCBCBCという単語は，
ＢとＣだけに
ぶつかるように見えていて，
11回に１回だけ
Ａにぶつかるのだ．
もちろん，良く良くねらいを
つけなければならない！
この話は実数を思い起こさせる．
実数の中には，十進法で
周期的に書かれるものがあり，
それらは有理数である．
例えば123/999 は，
0.123123123123 ...であり，
2/7 は，0.285714285714285714285714 ...である．
無理数は，今度は，
十進法で非周期的に書かれる．
例えば
πがそうである．
我々のビリヤードも似ている．
軌道には周期的で
文字Ａ，Ｂ，Ｃの周期的な
単語で表されるものがある．
他には，非周期的な無限の単語で
表されるものがある．
そして，Ａ，Ｂ，Ｃと
有限回ぶつかって
無限遠に向かい，
戻って来ないものもある．
デュエムの雄牛を見てみよう．
「まず，
閉じた測地線がある．
また，正確に出発点に
戻って来ることはなく，
無限には離れていくこともない
測地線もある；
これらには，右の角の周りを
回り続けるものもあり，
左の角の周りを回り続けるものもある，［…］
他のもっと複雑なものは，
ある規則に従って
一方の角の周りを何回か回り，
他方の角の周り何回か回る
ということを繰り返す［…］．
この雄牛の額の上には［…］，
無限遠に向かう
測地線もあり，
右の角を登っていくものもあれば，
左の角を登っていくものもある［…］．」
ずっと地球の近くに
居てくれる月が，
突然意を決して
無限遠に飛び出す…
と想像して見たまえ．
「このような複雑さにもかかわらず，
雄牛の額の上で，
完全な正確さで
最初の点の位置と
最初の速度の方向を知っていれば，
この点が動く
測地線は
正確に定められる．
初期条件が
数学的にはわからず，
現実の測定でわかっているとすると，
結果は全く別のものになる．」
この微妙な差をわかってほしい！
数学的にと現実的にの差だ．
これらのほとんど同じ条件で
出発する測地線を観察しよう．
かなりの時間，
これらは，ほとんど同じ道筋をたどるが…
離れていくのだ．
緑色，赤色，青色の
測地線の未来は，全く異なる．
「今考えている曲面上で，
質点が
幾何的に与えられた点を
幾何的に与えられた速度で
動き始めれば，
数学的にこの点の軌道が定まり，
この点が無限遠に
向かうかどうかが決定される．
しかし，物理学者にとっては，
この数学的議論は永久に使い物にならない．」
ここまでは，測地線やビリヤードの玉の
軌道の問題だった．
この議論は，日常の問題，
例えば惑星の運動に
応用できるのだろうか？
私の未来がどう決まるかという問題には，
まだ答えが出ていない．