CAOS 5- Il toro di Duhem
Ah! quanto sarebbe bello capire
il moto dei corpi celesti.
È un vecchio sogno...
Qualcuno non pensa di leggere il proprio destino
nella posizione degli astri?
Si possono prevedere le collisioni tra i pianeti?
La gravitazione potrebbe espellere
dei pianeti all'infinito?
Oppure, al contrario,
ci si deve aspettare una stabilità
del moto del sistema solare?
Ecco qui delle questioni delicatissime.
Come sempre in matematica,
di fronte ad un problema troppo duro,
si cerca inizialmente una situazione più semplice.
Guardate questa scodella
a forma di parabola.
Se lanciamo una pallina,
essa è sottoposta al suo peso
ed alla forza di reazione
che la costringe a restare sulla superficie.
Vediamo che il problema è analogo
a quello di un pianeta,
attirato dal Sole.
Il moto sembra troppo regolare
per assomigliare ad un sistema solare complesso
con molti pianeti.
Prendiamo una situazione un po' più complicata.
La pallina è sempre sottoposta al suo peso
e alla forza di reazione della superficie.
Il moto è veramente complicato.
Annulliamo il peso della pallina
ma conserviamo la forza di reazione della superficie.
Ascoltiamo piuttosto Pierre Duhem,
il filosofo della scienza,
presentare i lavori
del matematico Hadamard,
pubblicati nel 1898, in un articolo dal titolo:
«Sulle geodetiche delle superfici
con curvature opposte».
«Una massa materiale
scivola su una superficie;
nessuna forza peso, [...]
nessun attrito disturba il suo moto.
Descrive una linea
che i geometri chiamano
una linea geodetica
della superficie considerata.
Quando ci si dà la posizione iniziale
del nostro punto materiale,
e la direzione della sua velocità iniziale,
la geodetica che deve descrivere
è ben determinata.
Immaginiamo la fronte di un toro,
con le protuberanze da cui partono le corna [...]
e i passaggi che si scavano
tra le sue protuberanze;
ma allunghiamo senza limite
queste corna [...],
in maniera tale che si estendano all'infinito;
avremo una delle superfici
che vogliamo studiare.»
Allungare le corna all'infinito?
Ecco una vera idea da matematico!
Lanciare una pallina
sulla fronte di un toro
al quale avremo allungato le corna all'infinito...
Useremo
un esempio differente
ma infine molto vicino
alle geodetiche di Hadamard:
il gioco del biliardo.
Ecco un tavolo da biliardo rettangolare.
Lancio una pallina...
poi un'altra,
quasi allo stesso modo.
Troppo semplice!
Le due palline seguono traiettorie vicine.
Un tavolo da biliardo ellittico?
No... Ancora troppo semplice!
Qua ancora, due palline che partono
con delle condizioni iniziali vicine
hanno delle traiettorie che restano vicine.
È un po' come se osservassimo
le geodetiche sulla fronte di un toro
che fosse senza corna.
Introduciamo un primo corno,
un cilindretto.
Guardate adesso due traiettorie vicine.
Colpiscono il cilindro,
la prima parte da un lato,
la seconda dall'altro.
I loro futuri diventano rapidamente...
molto diversi.
Ecco un piano infinito
dove delle palline possono scorrere senza attriti.
Su questo piano, ci sono tre ostacoli circolari:
chiamiamoli A, B e C.
È un po' come se
osservassimo le geodetiche
su una superficie con tre corna.
Mettiamo una pallina e lanciamola.
Se si prende bene la mira, la traiettoria può colpire
A poi B poi C poi A poi B poi C, etc.
una traiettoria periodica triangolare.
Ci sono altre traiettorie periodiche?
Hadamard dimostra un magnifico teorema.
Afferma che se scegliete
una qualunque parola
scritta con le tre lettere A, B, C,
con la condizione che due lettere che seguono
siano diverse,
per esempio ABABCABC,
ebbene...
esiste un'unica traiettoria periodica
che visita in successione i cilindri
nell'ordine dettato dalla parola in questione.
Vedete la complessità della situazione:
per ogni parola,
c'è una traiettoria periodica.
Ed esistono molte parole!
Per esempio la parola ABCBCBCBCBC...
è una traiettoria che sembra
giocare tra B e C,
e che, una rimbalzo su undici,
va a colpire il cilindretto A.
Ovvio, bisogna prendere bene la mira...
molto bene!
Tutto questo richiama i numeri reali.
Alcuni di essi
hanno una scrittura decimale periodica,
sono i numeri razionali.
123/999 per esempio, è
0,123123123...
e 2/7, è 0,285714285714285714...
I numeri irrazionali, quanto a loro,
hanno una scrittura decimale,
che non è periodica,
π per esempio.
Ebbene, per il nostro biliardo, è lo stesso.
Alcune traiettorie sono periodiche
e sono descritte da una parola
periodica nelle lettere A, B, C.
Altre sono descritte
da una parola infinita non periodica.
E infine altre ancora
visitano A, B, C un numero finito di volte
e poi vanno all'infinito,
senza più tornare.
Osserviamo il toro di Duhem.
«Per prima cosa, ci sono delle geodetiche
che si chiudono su loro stesse.
Ce ne sono anche altre che,
senza mai ripassare esattamente
al loro punto di partenza,
non se ne allontanano mai infinitamente;
le une girano senza cessa
attorno al corno destro,
le altre attorno al corno sinistro, [...]
altre ancora, più complicate,
fanno alternare seguendo certe regole
i giri che descrivono attorno a un corno
con i giri che descrivono
attorno all'altro corno [...].
Sulla fronte del nostro toro [...],
ci saranno così delle geodetiche
che se ne vanno all'infinito,
le une, si inerpicano sul corno destro,
le altre, si inerpicano sul corno sinistro [...].»
Immaginate la Luna che,
dopo essere restata gentilmente
in prossimità della Terra,
decidesse, di colpo,
di partire all'infinito...
«Malgrado questa complicazione,
se si conoscesse con un'intera esattezza
la posizione iniziale di un punto materiale
su questa fronte di toro
e la direzione della velocità iniziale,
la linea geodetica che questo punto
seguirebbe nel suo moto
sarebbe determinata senza nessun'ambiguità.
Sarebbe tutt'altro
se le condizioni iniziali
non fossero date matematicamente,
ma praticamente.»
Apprezzate la sottigliezza!
Non matematicamente ma praticamente.
Guardate queste geodetiche che partono
quasi nelle stesse condizioni.
Per un bel po',
seguono quasi lo stesso cammino
e poi... si separano.
La geodetica verde, rossa e quella blu
hanno dei futuri totalmente diversi.
«Se dunque un punto materiale viene lanciato
sulla superficie studiata,
a partire da una posizione geometricamente data,
con una velocità geometricamente data,
la deduzione matematica
potrà determinare la traiettoria di questo punto
e dire se questa traiettoria
si allontana o no all'infinito.
Ma, per il fisico,
questa deduzione è sempre e comunque inutilizzabile.»
Per il momento, tutto ciò riguarda le geodetiche
o le traiettorie del biliardo.
Può ciò applicarsi
nella vita d'ogni giorno?
Per il moto dei pianeti ad esempio?
Potremo determinare il nostro futuro?
Ecco la domanda ancora senza risposta.