Κεφάλαιο 5 : Ο ταύρος του Duhem
Αχ!... το να κατανοήσει κανείς
την κίνηση των ουράνιων αντικειμένων!
Είναι ένα παλιό όνειρο...
Κάποιοι πιστεύουν ότι μπορούν
να διαβάσουν τη μοίρα τους στον ουρανό.
Μπορούμε να προβλέψουμε τη σύγκρουση δύο πλανητών;
Θα μπορούσε η βαρύτητα να διώξει
κάποιους πλανήτες στο άπειρο;
Ή θα ‘πρεπε
να περιμένουμε μια σταθερή κίνηση
στο ηλιακό σύστημα;
Αυτές είναι λεπτές ερωτήσεις!
Όπως πάντα στα μαθηματικά,
όταν είμαστε αντιμέτωποι με ένα πολύ δύσκολο πρόβλημα,
είναι καλύτερα να αρχίσουμε με μια απλούστερη κατάσταση.
Κοιτάξτε αυτό το μπολ σε σχήμα παραβολής.
Αν κυλήσουμε μια μπάλα
αυτή υπόκειται στο βάρος της
της και στη δύναμη της αντίδρασης,
η οποία την αναγκάζει να παραμένει στην επιφάνεια.
Βλέπουμε ότι το πρόβλημα είναι ανάλογο
με αυτό του πλανήτη
που έλκεται από έναν ήλιο.
Η κίνηση αυτή φαίνεται πολύ τακτική
για να μοιάζει με ένα περίπλοκο ηλιακό σύστημα
με πολλούς πλανήτες.
Ας πάρουμε αυτό το μπολ, που είναι λίγο πιο περίπλοκο.
Η μπάλα πάλι υπόκειται στο βάρος της
και στη δύναμη αντίδρασης της επιφάνειας.
Η κίνηση αυτή είναι πραγματικά περίπλοκη.
Ας αφαιρέσουμε το βάρος της μπάλας,
διατηρώντας όμως τη δύναμη αντίδρασης της επιφάνειας.
Ακούστε τον Pierre Duhem,
φιλόσοφο της επιστήμης,
να παρουσιάζει το έργο
του μαθηματικού Hadamard,
που εκδόθηκε το 1898 σε ένα άρθρο με τίτλο:
«Περί γεωδαισιακών επιφανειών
με αντίθετες καμπυλότητες».
«Μια υλική μάζα
ολισθαίνει πάνω σε μια επιφάνεια:
καθόλου βαρύτητα, [...]
καμία τριβή δεν εμποδίζει την κίνησή της.
Στη γεωμετρία η καμπύλη που διαγράφει
ονομάζεται γεωδαισιακή γραμμή
της εν λόγω επιφάνειας.
Όταν επιλέγουμε την αρχική θέση
του υλικού μας σημείου,
και την κατεύθυνση της αρχικής του ταχύτητας,
η γεωδαισιακή γραμμή ορίζεται πλήρως.
Φανταστείτε το μέτωπο ενός ταύρου,
με τα κέρατα να βγαίνουν από δύο προεξοχές[...]
και περάσματα ανάμεσα
σε αυτές τις προεξοχές[...]
Αν προεκτείνουμε τα κέρατα
μέχρι να φτάσουν στο άπειρο,
τότε θα έχουμε μια από αυτές τις επιφάνειες
που θέλουμε να μελετήσουμε.
Να προεκτείνουμε τα κέρατα στο άπειρο;
Μόνο μαθηματικός θα το σκεφτόταν αυτό!
Να κυλήσουμε μια
πάνω στο μέτωπο ενός ταύρου
με απείρως μακριά κέρατα...
Θα χρησιμοποιήσουμε αρχικά
ένα διαφορετικό παράδειγμα,
, το οποίο όμως είναι τελικά αρκετά κοντά
στις γεωδαισιακές του Hadamard:
το μπιλιάρδο.
Να ένα ορθογώνιο τραπέζι μπιλιάρδου.
Χτυπάω μια μπάλα...
...και μετά μια άλλη,
σχεδόν με τον ίδιο τρόπο.
Υπερβολικά απλό...
Οι δύο μπάλες ακολουθούν πολύ κοντινές τροχιές.
Με ελλειπτικό τραπέζι;
Πάλι υπερβολικά απλό.
Κι εδώ, δυο μπάλες που ξεκινάν
με παρόμοιες αρχικές συνθήκες
έχουν τροχιές που παραμένουν κοντινές.
Είναι σαν να ζωγραφίζουμε
γεωδαισιακές γραμμές πάνω στο μέτωπο ενός ταύρου
χωρίς κέρατα!
Ας προσθέσουμε ένα «κέρατο»:
έναν κύκλο.
Κοιτάξτε τώρα δύο κοντινές τροχιές.
Χτυπάνε στον κύκλο
και η πρώτη φεύγει προς μία κατεύθυνση,
και η άλλη προς μία τελείως διαφορετική κατεύθυνση...
Τα μέλλοντά τους γρήγορα
Να ένα άπειρο επίπεδο, όπου οι μπάλες
μπορούν να κυλάνε χωρίς καθόλου τριβή.
Υπάρχουν τρία κυκλικά εμπόδια:
ας τα ονομάσουμε A, B, και C.
Είναι σαν να βλέπουμε
γεωδαισιακές γραμμές
σε μια επιφάνεια με τρία κέρατα.
Ας κυλήσουμε μια μπάλα!
Αν στοχεύσουμε καλά, η τροχιά της μπορεί
να χτυπήσει στο A, μετά στο B, μετά στο C, στο Α, στο Β, στο C κτλ...
Μια περιοδική τριγωνική τροχιά.
Υπάρχουν κι άλλες περιοδικές τροχιές;
Ο Hadamard αποδεικνύει ένα πολύ όμορφο θεώρημα.
Λέει ότι αν διαλέξετε οποιαδήποτε
λέξη που αποτελείται
από τα γράμματα ABC,
με την συνθήκη ότι
διαδοχικά γράμματα είναι διαφορετικά,
π.χ. ABABCABC
...τότε υπάρχει
μια μοναδική περιοδική
που επισκέπτεται τους κύκλους διαδοχικά,
με τη σειρά που υποδεικνύει η εν λόγω λέξη.
Καταλαβαίνετε την περιπλοκότητα της κατάστασης:
για κάθε λέξη
υπάρχει μια περιοδική τροχιά
Και υπάρχουν πολλές λέξεις!
Για παράδειγμα, η λέξη ABCBCBCBCBC
είναι μια τροχιά που προσποιείται
ότι χτυπάει μόνο τα B και C,
αλλά κάθε 11 ανακλάσεις
θα χτυπήσει το Α!
Βεβαίως, πρέπει να σημαδέψουμε προσεκτικά,
πολύ προσεκτικά!
Όλα αυτά θυμίζουν τους πραγματικούς αριθμούς.
Μερικοί από αυτούς έχουν
περιοδικό δεκαδικό μέρος,
και αυτοί είναι οι ρητοί αριθμοί.
123/999, για παράδειγμα,
μας κάνει 0,123123123123...
και 2/7 μας κάνει 0,285714285714285714285714... κτλ
Οι άρρητοι αριθμοί έχουν
μη περιοδικό
δεκαδικό μέρος...
όπως το π, για παράδειγμα.
Το τραπέζι μας του μπιλιάρδου είναι παρόμοιο.
Κάποιες τροχιές είναι περιοδικές,
και περιγράφονται από μια
περιοδική λέξη με τα γράμματα A, B, C.
Άλλες είναι μη περιοδικές,
και περιγράφονται από μια άπειρη λέξη.
Άλλες πάλι επισκέπτονται τα Α, B, C
έναν πεπερασμένο αριθμό φορών, και μετά...
φεύγουν στο άπειρο
χωρίς επιστροφή.
Κοιτάξτε τον ταύρο του Duhem:
«Καταρχάς, υπάρχουν γεωδαισιακές
που κλείνουν στον εαυτό τους.
Υπάρχουν άλλες που,
χωρίς να επιστρέφουν ποτέ
στο αρχικό τους σημείο,
ποτέ δεν καταλήγουν απείρως μακριά του.
Κάποιες γυρίζουν συνεχώς
συνεχώς γύρω από το δεξί κέρατο,
και κάποιες γύρω από το αριστερό [...]
άλλες, πιο περίπλοκες,
εναλλάσσονται ανάμεσα
στα δύο κέρατα,
ακολουθώντας συγκεκριμένους κανόνες [...]
Στο κεφάλι του ταύρου μας [...]
θα υπάρχουν γεωδαισιακές
που πηγαίνουν στο άπειρο,
μία σκαρφαλώνοντας στο δεξί κέρατο,
άλλες σκαρφαλώνοντας στο αριστερό [...]
Φανταστείτε η Σελήνη,
μετά από τόσο καιρό
που συνόδευε προσεκτικά τη Γη
να αποφάσιζε ξαφνικά
να φύγει προς το άπειρο.
«Παρά την επιπλοκή αυτή,
αν κάποιος γνωρίζει με απόλυτη ακρίβεια
την αρχική θέση ενός υλικού σημείου
σημείου στο μέτωπο του ταύρου,
και την κατεύθυνση της αρχικής ταχύτητας,
τότε η γεωδαισιακή που θα ακολουθήσει
αυτό το σημείο
θα είναι σαφώς καθορισμένη.
Θα είναι πολύ διαφορετικά
αν οι αρχικές συνθήκες
δεν είναι γνωστές μαθηματικά,
αλλά εμπειρικά.»
Θαυμάστε τη λεπτότητα:
όχι μαθηματικά αλλά εμπειρικά!
Κοιτάξτε αυτές τις γεωδαισιακές που ξεκινάν
με τις ίδιες σχεδόν συνθήκες.
Ακολουθούν το ίδιο σχεδόν μονοπάτι
για λίγο και μετά...
χωρίζονται!
Η πράσινη, η κόκκινη και η μπλε γεωδαισιακή
έχουν εντελώς διαφορετικά μέλλοντα.
«Αν ένα σημείο ξεκινήσει
στην εν λόγω επιφάνεια
από μια θέση δεδομένη γεωμετρικά,
με μια ταχύτητα δεδομένη γεωμετρικά,
τότε η μαθηματική επαγωγή
μπορεί να προσδιορίσει την τροχιά αυτού του σημείου
και να αποφανθεί
για το αν αυτό θα κινηθεί προς το άπειρο ή όχι.
Αλλά, για τον φυσικό,
αυτή η επαγωγή δεν είναι ποτέ χρήσιμη.»
Μέχρι τώρα όλα αυτά αφορούν γεωδαισιακές γραμμές
ή τροχιές στο τραπέζι του μπιλιάρδου.
Μπορούν άραγε να εφαρμοστούν
στην καθημερινή ζωή,
λόγου χάρη στις κινήσεις των πλανητών;
Το ζήτημα του προσδιορισμού του μέλλοντός μου
παραμένει αναπάντητο!