CAOS, Capítulo 5. El toro de Duhem
¡Ah!... ¡entender el movimiento
de los cuerpos celestes!
Es un sueño antiguo...
Algunos piensan que pueden leer su
destino en el cielo.
¿Podemos predecir colisiones entre planetas?
¿Podría la gravedad impulsar un planeta
hasta el infinito?
O, al contrario,
¿deberíamos esperar estabilidad
en el movimiento del sistema solar?
¡Éstas son preguntas delicadas!
Como siempre, en matemáticas,
al enfrentarnos a un problema demasiado difícil,
es mejor buscar primero una situación más simple.
Mira este
tazón parabólico.
Si lanzamos una bola,
está sujeta a su peso
y a la fuerza de reacción
que la obliga a permanecer sobre la superficie.
Es un problema análogo
al de un planeta
atraído por el Sol.
Este movimiento se ve muy regular
como para parecerse a un sistema solar complejo,
con muchos planetas.
Toma un tazón algo más complicado.
La bola sigue sujeta a su peso
y a la fuerza de reacción de la superficie.
El movimiento es muy complicado.
Olvidemos el peso de la bola
pero conservemos la fuerza de reacción de la superficie.
Escuchemos a Pierre Duhem,
un filósofo de la Ciencia,
presentando un trabajo
del matemático Hadamard
publicado en 1898 bajo el título
«Sobre las geodésicas de las superficies
con curvaturas opuestas».
«Un cuerpo material
se desliza en una superficie,
sin gravedad, [...]
no hay fricción que lo detenga.
Describe una curva
que los geómetras llaman
línea geodésica
de la superficie considerada.
Si fijamos la posición inicial
del objeto
y la dirección de su velocidad inicial,
la geodésica
queda completamente determinada.
Imaginemos la frente de un toro,
con protuberancias de donde salen los cuernos
y pasajes
entre estas protuberancias;
pero extendamos
los cuernos
al infinito;
tendremos una de las superficies
que queremos estudiar.»
¿Extender los cuernos al infinito?
¡Ideas de matemático!
Lanzar una bola
sobre la frente de un toro
con cuernos infinitamente largos.
Usaremos primero
un ejemplo distinto,
pero que al final es muy parecido
a las geodésicas de Hadamard:
el juego de billar.
He aquí una mesa rectangular de billar.
Lanzo una bola...
...y otra,
casi de la misma manera.
¡Qué fácil!
Las dos trayectorias son muy parecidas.
¿Una mesa de billar elíptica?
¡Sigue siendo fácil!
Aquí también, si dos bolas salen
con condiciones iniciales parecidas,
seguirán trayectorias que permanecerán cercanas.
¡Es como dibujar geodésicas
en la frente de un toro
sin cuernos!
Agreguemos un cuerno:
un obstáculo circular.
Ahora miremos dos trayectorias cercanas.
Chocan con el obstáculo
y la primera va por un lado,
y la otra por el otro.
Sus futuros se vuelven diferentes
muy rápidamente.
He aquí un plano infinito
donde las bolas pueden rodar sin fricción.
Hay tres obstáculos circulares:
llamémoslos A, B y C.
Ahora es como observar
las geodésicas en una superficie
con tres cuernos.
Tomemos una bola y lancémosla.
Con buena puntería, la trayectoria puede
chocar con A, luego con B, con C, con A, con B, con C, etc...
una trayectoria triangular periódica.
¿Habrá otras órbitas periódicas?
Hadamard probó un teorema bellísimo.
Dice que si tomas
cualquier palabra
escrita con tres letras A, B y C,
con la condición que dos letras consecutivas
sean diferentes,
por ejemplo ABABCABC,
entonces
existe una única trayectoria periódica
que choca con los obstáculos
en el orden dictado por la palabra escogida.
Puedes ver la complejidad de la situación:
para cada palabra,
existe una trayectoria periódica,
¡y hay muchísimas palabras!
Por ejemplo, la palabra ABCBCBCBCBC...
es una trayectoria que pretende
chocar sólo con B y C,
¡pero cada 11 rebotes
choca con el obstáculo A!
Desde luego,
debemos tener muy buena puntería.
Esto recuerda a los números reales.
Algunos tienen
una expansión decimal periódica:
son los números racionales.
123/999, por ejemplo, es
0,123123123...
y 2/7 es 0,285714285714285714...
Los números irracionales tienen
una expansión decimal
que no es periódica.
π, por ejemplo.
Nuestra mesa de billar es similar.
Algunas trayectorias son periódicas
y las describimos con una palabra
periódica en las letras A, B, y C.
Otras son aperiódicas
y las describimos con una palabra infinita.
Y hay otras que chocan con A, B y C
un número finito de veces
y luego... se escapan al infinito
y nunca regresan.
He aquí el toro de Duhem:
«Primero, hay geodésicas
que se cierran.
Hay otras que,
sin regresar
a su punto de origen,
nunca se escapan al infinito;
unas giran sin cesar
alrededor del cuerno derecho
y otras, del izquierdo [...]
otras, más complicadas,
alternan vueltas
alrededor de un cuerno
con vueltas alrededor del otro
siguiendo ciertas reglas.
Sobre la frente de nuestro toro [...]
habrá geodésicas
que escapan al infinito,
unas subiendo por el cuerno derecho,
otras subiendo por el cuerno izquierdo [...].»
Imaginemos que la Luna,
que siempre ha sido compañera
de la Tierra,
de repente decidiera
escaparse al infinito.
«A pesar de esta complicación,
si uno conoce con total exactitud
la posición inicial de un punto
en la frente de este toro,
y la dirección de su velocidad inicial,
entonces la geodésica que seguirá
este punto en su movimiento
estará completamente determinada.
Será muy diferente
si las condiciones iniciales
no son conocidas matemáticamente
sino sólo prácticamente.»
Contemplemos esta sutileza:
¡no matemáticamente, sino sólo prácticamente!
Observemos estas geodésicas,
que empiezan con casi las mismas condiciones.
Siguen trayectorias parecidas
por un tiempo
y luego... ¡se alejan!
Las geodésicas verde, roja y azul
tienen futuros completamente distintos.
«Si un punto en la superficie considerada
se lanza desde una posición
dada geométricamente,
con una velocidad dada geométricamente,
la deducción matemática
puede determinar la trayectoria de este punto
y saber si el punto
escapa o no al infinito.
Pero para el físico,
esta deducción es irremediablemente inútil.»
Hasta ahora, todo esto tiene concierne a las geodésicas
o a las trayectorias de bolas de billar.
¿Se puede aplicar esto
a la vida diaria?
¿al movimiento de los planetas?
¡La cuestión de determinar mi futuro
sigue sin respuesta!