CHAOS 5- Duhems Stier
Ah! … Die Bewegung
der Himmelskörper zu verstehen!
Es ist ein alter Traum...
Einige Menschen glauben sie könnten
ihr Schicksal am Himmel ablesen.
Können wir Zusammenstöße zwischen Planeten vorhersagen?
Könnte die Schwerkraft Planeten
ins All hinausschleudern?
Oder sollte man eher das Gegenteil,
eine gleichmäßige Bewegung
des Sonnensystems, erwarten?
Das sind subtile Fragen!
Wie immer in der Mathematik:
Steht man einem zu schwierigen Problem gegenüber,
sollte man zuerst nach einer einfacheren Situation suchen.
Etwa diese Schüssel.
Wenn wir einen Ball hineinlegen,
unterliegt er sowohl seinem Gewicht
als auch der Reaktionskraft,
die ihn zwingt auf der Oberfläche der Schüssel zu bleiben.
Man sieht, dass das Problem analog
zu dem eines von der Sonne
angezogenen Planeten ist.
Die Bewegung scheint jedoch zu regulär,
um einem komplexen Sonnensystem mit
vielen Planeten zu gleichen.
Nehmen wir eine kompliziertere Schüssel.
Der Ball unterliegt immer noch seinem Gewicht
und der Reaktionskraft der Oberfläche.
Die Bewegung ist sehr kompliziert.
Nehmen wir einmal einen Ball ohne Gewicht,
aber behalten wir die Reaktionskraft der Oberfläche.
Hören wir dem Wissenschaftsphilosophen
Pierre Duhem zu, wie er das Werk
des Mathematikers Hadamard präsentiert,
das 1898 in einem Artikel
unter dem Titel "Über geodätische Flächen
mit entgegengesetzten Krümmungen"
veröffentlicht wurde.
Eine materielle Masse
gleitet über eine Oberfläche;
keine Schwerkraft, [...]
keine Reibung hindert ihre Bewegung.
Sie zeichnet eine Linie nach,
die Geometer
eine geodätische Kurve
der betrachteteten Fläche nennen.
Wenn man die Anfangsposition unseres
meteriellen Punktes und die Richtung
seiner Anfangsgeschwindigkeit vorgibt,
ist die Geodäte vollständig bestimmt.
Stellen wir uns einen Stier vor,
insbesondere seinen Kopf,
mit seitlich hervorstehenden Hörnern [...]
und einer breiten Stirn dazwischen [...]
Aber wir verlängern die Hörner
bis ins Unendliche;
dann haben wir eine der Flächen,
die wir studieren wollen.
Die Hörner bis ins Unendliche verlängern?
Das kann nur die Idee eines Mathematikers sein.
Einen Ball auf die Stirn
eines Stieres mit unendlich
langen Hörnern legen...
Schauen wir uns zunächst
ein anderes Beispiel an,
aber eines, das am Ende nah an
Hadamard's Geodäten ist;
Billard.
Hier haben wir einen rechteckigen Billardtisch.
Ich stoße eine Kugel...
... dann noch eine,
fast genauso.
Zu einfach...
Die beiden Kugeln folgen Bahnen, die sehr nah aneinander sind.
Ein elliptischer Billardtisch?
Immer noch zu einfach!
Auch hier bleiben die Bahnen zweier Kugeln
mit ähnlichen Anfangsbedingungen
nah beieinander.
Es ist, als würden wir
Geodäten auf die Stirn eines Stiers
ohne Hörner zeichnen.
Fügen wir also ein "Horn" hinzu:
eine runde Bande.
Sehen wir uns noch einmal benachbarte Bahnen an.
Sie treffen die Bande
und die erste läuft in eine Richtung,
die andere in eine komplett andere...
Ihre Zukunft unterscheidet sich sehr schnell.
Hier haben wir eine unendliche Ebene,
auf der Kugeln ohne Reibung rollen können.
Es gibt drei runde Hindernisse:
nennen wir sie A, B und C.
Als würden wir Geodäten auf einer
Oberfläche mit drei Hörnern betrachten.
Nehmen wir uns eine Kugel und stoßen zu!
Wenn wir gut zielen, kann die Kugel
erst A, dann B, dann C, dann A, dann B, dann C und so weiter treffen.
Eine periodische dreieckige Bahn.
Gibt es mehr periodische Bahnen?
Hadamard zeigte einen wundervollen Satz.
Er besagt, dass wenn man sich
ein beliebiges Wort aus den
drei Buchstaben ABC aussucht,
derart, dass aufeinanderfolgende
Buchstaben immer verschieden sind,
zum Beispiel ABABCABC,
dann gibt es
genau eine periodische Bahn,
die die Hindernisse in genau der hierdurch
vorgegeben Reihenfolge abläuft.
Man sieht die Komplexität dieser Situation:
Zu jedem Wort
eine periodische Bahn.
Und es gibt viele Wörter!
Zum Beispiel liefert das Wort ABCBCBCBCBC
eine Bahn, die so tut, als würde sie
nur B und C treffen,
aber nach jedem elften Aufprall
trifft sie einmal A!
Natürlich muss man genau zielen,
sehr genau!
All das erinnert an die reellen Zahlen.
Einige von ihnen haben
periodische Dezimalentwicklung,
und das sind genau die rationalen Zahlen.
123/999 zum Beispiel ist
0.123123123…
und 2/7 is 0.285714 285714 285714 ... usw..
Die Dezimalentwicklung
irrationaler zahlen
ist nicht periodisch...
Pi zum Beispiel.
Bei unserem Billardtisch ist es ähnlich.
Einige Bahnen sind periodisch
und lassen sich durch periodische
Wörter mit den Buchstaben A,B,C beschreiben.
Andere sind nicht periodisch
und entsprechen unendlichen Wörtern.
Noch andere treffen A, B, C
nur endlich viele Male und verschwinden dann
Richtung Unendlichkeit
und kehren nie zurück.
Hier wieder Duhems Stier:
<< Zunächst gibt es Geodäten,
die sich schließen.
Es gibt andere, die sich
von ihrem Startpunkt nur endlich weit
entfernen, ohne jedoch jemals
zu ihm zurückzufinden;
manche winden sich
um das rechte Horn,
andere um das linke [...];
andere, kompliziertere,
wechseln das Horn
immer wieder,
bestimmten Regeln folgend [...]
Auf dem Kopf unseres Stiers [...]
gibt es Geodäten,
die nach Unendlich laufen,
manche am linken Horn entlang,
andere am rechten [...]. >>
Man stelle sich vor, der Mond,
der schon immer
der Erde Begleiter war,
beschließt plötzlich
Richtung Unendlichkeit davonzufliegen.
<< Trotz dieser Komplikationen:
weiß man mit absoluter Genauigkeit
die Startposition eines Punktes
auf der Stirn des Stiers
und auch seine Anfangsgeschwindigkeit,
so ist die Geodäte, die
dieser Punkt entlangwandern wird,
unumstößlich festgelegt.
Dies ist sehr anders,
wenn man die Anfangsbedingung
nicht mathematisch,
sondern nur praktisch kennt.
Man beachte diese Subtilität:
nicht mathematisch, sondern praktisch!
Sehen wir uns diese Geodäten an,
die unter beinahe gleichen Bedingungen starten.
Für eine Weile folgen sie auch beinahe
demselben Pfad, doch dann
... trennen sich ihre Wege.
Der grünen, der blauen und der roten Geodäte
stehen sehr unterschiedliche Zukünfte bevor.
<< Wenn man einen Punkt auf der gegebenen
Fläche von einer Position und mit
einer Geschwindigkeit auf die Reise schickt,
die beide geometrisch gegeben sind,
dann erlaubt uns mathematische
Schlussfolgerung, die genaue Bahn des
Punktes zu bestimmen und zu entscheiden,
ob der Punkt sich ins Unendliche von uns entfernt.
Für einen Physiker jedoch
ist eine solche Folgerung unbenutzbar. >>
Alles Bisherige ließ sich auf Geodäten
oder Billardkugeln anwenden.
Kann man es auch auf das
tägliche Leben anwenden?
Etwa die Bewegung von Planeten?
Die Frage nach meiner Zukunft
ist immer noch ungeklärt!