ক্যাওস ৫ – দুয়েম-এর ষাঁড়
মহাজাগতিক বস্তুদের
গতিবিধিকে বোঝার চেষ্টা!
সে এক প্রাচীন স্বপ্ন ...
কেউ কেউ মনে করেন
আকাশের গায়ে তাদের ভাগ্য লেখা আছে!
আমরা কি গ্রহদের মধ্যে সম্ভাব্য সংঘর্ষের পূর্বানুমান করতে পারি?
মাধ্যাকর্ষণ বল কি
কোনো গ্রহকে ছিটকে দিতে পারে অসীমে?
নাকি,আমাদের আশা করা উচিৎ যে
সৌরমন্ডলের গতিবিধি বরাবর
কোনো ভারসাম্যে স্থিতিশীল থাকবে?
এগুলো খুবই সূক্ষ্ণ প্রশ্ন!
অঙ্কে সবসময় যা হয়,
খুব জটিল কোনো সমস্যার মুখোমুখি হলে
প্রথমে অপেক্ষাকৃত সহজ পরিস্থিতি নিয়ে ভাবাই ভালো।
এই অধিবৃত্তাকার পাত্রটা দেখুন।
এখানে একটা গোলককে ছেড়ে দিলে,
এটার ওপর কাজ করে এর ওজন
এবং তার প্রতিক্রিয়া বল,
যারা একে ওই তলে থাকতে বাধ্য করছে।
এই সমস্যাটা অনেকটাই
কোনো নক্ষত্রের টানে ঘুরতে থাকা
গ্রহদের সমস্যার মতন।
তবে, অনেকগুলো গ্রহ নিয়ে তৈরী
জটিল সৌরমন্ডলের সাপেক্ষে
এই গতিবিধি বড্ড সরল।
এমন একটা পাত্র নিন যার তলটা তুলনায় জটিল।
এখানেও গোলকটার ওপর তার ওজন-ই কাজ করছে
আর রয়েছে পাত্রের তলের প্রতিক্রিয়া বল।
এবারের গতিবিধি সত্যিই জটিল।
গোলকের ওজন-বলকে সরিয়ে নিয়ে
শুধু তলের প্রতিক্রিয়া বলকে কল্পনা করুন।
১৮৯৮ সালে প্রকাশিত এক প্রবন্ধে
বিজ্ঞানের দর্শনবেত্তা
পিয়ের দুয়েম
গণিতজ্ঞ আদামাহ্-র লেখা
“অন জিওডেসিক্ সারফেসেস্
উইথ অপোজিট্ কার্ভেচার”
প্রবন্ধের আলোচনায় বলেন :
কোনো ভরযুক্ত বস্তু
তলের ওপর পিছলে চলে;
কোনো মাধ্যাকর্ষণ, [...]
কোনো ঘর্ষণ-বল একে রুখতে পারে না।
এর গতিপথ যে রেখায় ধরা পড়ে
জ্যামিতিবিদ্‌রা তাকে বলেনl
সম্পর্কিত ওই তলের
‘জিওডেসিক্’ বক্র।
বস্তু কণার প্রাথমিক অবস্থান
এবং প্রারম্ভিক গতিবেগের
অভিমুখ জানা থাকলে
‘জিওডেসিক্’-টা পুরোপুরি জানা যায়।
কল্পনা করুন ষাঁড়ের কপাল,
যার দু’পাশ থেকে সিং ঠেলে উঠেছে [...]
সিং-এর মধ্যিখানে
কপালের অংশটা [...]
সিং-দুটোকে অসীম পর্যন্ত
বাড়িয়ে দেওয়া যাক্।
এর ফলে এমন একটা ‘তল’ পাওয়া যাবে
যা আমরা খুঁটিয়ে দেখতে চাই।
অসীম পর্যন্ত বাড়িয়ে দেওয়া শিং ?
নির্ঘাত কোনো গণিতজ্ঞের চিন্তা!
অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত শিং-ওয়ালা
ষাঁড়ের কপালে
গড়িয়ে দেওয়া গোলক ...
প্রথমে আমরা অন্য একটা
উদাহরণ নেব,
তবে এটা শেষ পর্যন্ত গিয়ে আদামাহ্-র
‘জিওডেসিক্’-এর খুব কাছাকাছি দাঁড়াবে :
বিলিয়ার্ডস্ খেলা।
এটা আয়তাকার বিলিয়ার্ডস্ টেবিল।
একটা বলকে মারা হল ...
... তারপর আর একটা,
প্রায় একই ভাবে।
খুবই সহজ ব্যাপার ...
বল দুটোর ‘ট্রাজেক্টোরি’ খুবই কাছাকাছি।
উপবৃত্তাকার বিলিয়ার্ডস্ টেবিল?
এটাও বেশ সহজ ...
এখানেও,একই রকম প্রারম্ভিক শর্ত মেনে
রওনা হওয়া দুটো বলের ‘ট্রাজেক্টোরি’
খুবই কাছাকাছি থাকছে।
ঠিক যেন,
শিং নেই এমন ষাঁড়ের কপালে
‘জিওডেসিক্’ আঁকছি!
আসুন একটা ‘শিং’ যোগ করা যাক!
একটা বৃত্তাকার ‘স্টাড্’।
এবার দুটো কাছাকাছি ট্রাজেক্টোরি দেখুন।
এরা দুটোই ‘স্টাড্’-এ ধাক্কা খেল-
প্রথমটা একদিকে গেল
আর দ্বিতীয়টা গেল সম্পুর্ণ অন্যদিকে।
খুব কম সময়েই তাদের ভবিষ্যত আলাদা হয়ে গেল।
ধরুন এই সীমাহীন তলে গোলকরা
ঘর্ষণহীন ভাবে গড়িয়ে চলতে পারে।
এখানে তিনটে বৃত্তাকার প্রতিবন্ধক রয়েছে :
ধরুন এদের নাম A, B এবং C।
এখানে ব্যাপারটা এমন, যেন তিন-শিং-ওয়ালা তলে
আমরা ‘জিওডেসিক্’-দের লক্ষ্য করছি।
একটা বল্‌-কে মারা যাক।
ঠিকমতন মারতে পারলে, ‘ট্রাজেক্টোরি’-টা
পরপর A, B এবং C তে ধাক্কা খেতে থাকবে …
পর্যাবৃত্ত ত্রিভুজাকার ‘ট্রাজেক্টোরি’।
অন্য কোনো পর্যাবৃত্ত কক্ষপথ হতে পারে কি?
আদামাহ্ একটা চমৎকার উপপাদ্য দিয়েছেন।
ওঁনার কথা অনুযায়ী,
যদি উপর্যুপরি অক্ষরগুলো আলাদা হতে হবে
এই শর্ত মেনে, আমরা A, B, C দিয়ে তৈরী
যেকোনো ‘শব্দ’ নিই,
যেমন ধরা যাক,
ABABCABC
... তাহলে
এমন একটা-ই পর্যাবৃত্ত ‘ট্রাজেক্টোরি’ থাকবে
যা ওই ‘শব্দের’ অক্ষর বিন্যাস অনুসারে
‘স্টাড’-গুলোতে গিয়ে ধাক্কা মারবে।
ব্যাপারটার জটিলতা লক্ষ্য করুন :
প্রত্যেক সম্ভাব্য ‘শব্দের’ জন্য,
একটা করে পর্যাবৃত্ত ‘ট্রাজেক্টোরি’।
আর এদিকে শব্দেরও কোনো কম্‌তি নেই!
যেমন ধরুন, ABCBCBCBCBC...
এটা এমন একটা ‘ট্রাজেক্টোরি’, যা এমনিতে
B আর C-তে ধাক্কা খায়,
তবে প্রতি ১১ বারে একবার এসে
A-তে ধাক্কা মারে।
অবশ্যই এজন্য খুব টিপ্ করে মারতে হবে,
খুবই টিপ্ করে।
এইসব ব্যাপার থেকে বাস্তব সংখ্যাদের কথাও মনে হতে পারে।
কোনো কোনো বাস্তব সংখ্যার
পর্যাবৃত্ত দশমিক আকার রয়েছে,
এরা মূলদ সংখ্যা।
যেমন ১২৩/৯৯৯ হল
০.১২৩১২৩১২৩ …
আবার ২/৭ হল ০.২৮৫৭১৪২৮৫৭১৪২৮৫৭১৪ ...
অমূলদ সংখ্যাদের
দশমিক প্রকাশ
পর্যাবৃত্ত হয়না ...
যেমন ধরুন ‘পাই’
আমাদের বিলিয়ার্ডসের টেবিলটাও এইরকম।
কিছু ‘ট্রাজেক্টোরি’ পর্যাবৃত্ত,
এবং সেগুলোর চেহারা তৈরী
A, B, C অক্ষরে সাজানো পর্যাবৃত্ত শব্দে।
অন্যগুলো পর্যাবৃত্ত নয়
এবং তাদের বোঝাতে ব্যবহৃত ‘শব্দ’ সীমাহীন।
এছাড়াও অন্য আরো রয়েছে,যা
সসীম সংখ্যকবার A, B, C ঘুরে
... শেষ পর্যন্ত সীমাহীন হয়ে পড়ে,
এবং কখনো আর পর্যায়ে ফেরে না।
এটার নাম দুয়েম-এর ষাঁড় :
“প্রথমত, এমন ‘জিওডেসিক্’ রয়েছে
যারা নিজের প্রারম্ভিক অবস্থানে ফিরে আসে।
আবার এমনও রয়েছে যারা
যদিও কখনোই তাদের প্রারম্ভিক অবস্থানে
ফেরে না, তাই বলে সেখান থেকে
অসীম দূরত্বেও চলে যায় না;
কিছু কিছু পাক খেতে থাকে
ডান দিকের শিং বরাবর,
অন্য কিছু আবার বাঁ-দিকেরটায় [...];
অন্যগুলো, যেগুলো বেশ জটিলতর,
কখনো এই শিং-এ পাক খায়,
তো কখনো বা ওই শিং বরাবর ...
কোনো একটা নিয়ম মেনে এটা ঘটে [...]
ষাঁড় বাবাজীর মাথায়
এমন জিওেডসিক-ও থাকবে
যা অসীমে চলেছে,
একটা ডান শিং বেয়ে
অন্যটা বাঁ শিং বেয়ে ...।”
চাঁদের কথা ভাবুন,
যে চাঁদ সবসময় ছিল
পৃথিবীর সাথী,
সে হঠাৎ যদি ঠিক করে
সব ছেড়েছুড়ে যাত্রা করবে অন্তহীনের পথে।
“এইসব জটিলতা সত্ত্বেও,
কারোর যদি এই ষাঁড়ের কপালে
কোনো বিন্দুর প্রাথমিক অবস্থান,
এবং তার প্রারম্ভিক গতির অভিমুখ,
নিখুঁতভাবে জানা থাকে,
তাহলে ওই বিন্দুর গতিপথ
যে ‘জিওডেসিক’ মেনে চলবে
তা দ্বর্থ্যহীনভাবে নির্ণয় করা সম্ভব।
তবে যদি প্রারম্ভিক শর্তগুলো
গানিতিকভাবে না জানা থেকে
বাস্তব ধারণা থেকে জানা হয়,
তাহলে ব্যাপারটা পুরোপুরি অন্যরকম হবে।”
সূক্ষ্ম তফাতটা লক্ষ্য করুন:
গানিতিকভাবে নয়, বাস্তব ধারণা থেকে জানা!
এই ‘জিওডেসিক’-গুলো লক্ষ্য করুন-
এরা প্রায় একই অবস্থা থেকে শুরু হয়েছে।
কিছুক্ষনের জন্য এরা
প্রায় একই পথে চলবে এবং তারপর
... আলাদা হয়ে যাবে!
সবুজ, লাল এবং নীল ‘জিওডেসিক’-দের
ভবিষ্যত পুরোপুরি আলাদা।
“আলোচ্য তলে কোনো বিন্দুকে
যদি এমনভাবে ছাড়া হয় যে
জ্যামিতিকভাবে তার প্রাথমিক অবস্থান জানা আছে
এবং জ্যামিতিকভাবে তার গতিবেগও জানা আছে,
তাহলে গাণিতিকভাবে ওই বিন্দুর
ট্রাজেক্টোরিকে নির্ধারন করা এবং
সেই ট্রাজেক্টোরিটা শেষ পর্যন্ত অসীমে হারিয়ে যাবে কিনা
তা নির্ণয় করা সম্ভব।
তবে পদার্থবিদ্‌দের কাছে,...
এই গনণা চিরকালই অকাজের।”
এই পর্যন্ত যা বলা হল তা ‘জিওডেসিক’-দের জন্য
অথবা বিলিয়ার্ডস্‌ বলের ট্রাজেক্টোরির জন্য খাটে।
এটাকে কি আমাদের দৈনন্দিন জীবনে
প্রয়োগ করা যায়,
যেমন ধরুন, গ্রহদের গতিবিধির ক্ষেত্রে?
আমাদের ভবিষ্যত নির্ধারণ সংক্রান্ত প্রশ্নটার
এখনো কোনো উত্তর মিললো না!