الفوضى 5 – ثور دوهام
آه! كم نحن نتمنى أن نفهم
حركة الأشياء السماوية.
هذا حلم قديم.
ألم يعتقد بعض البشر قراءة مصيرهم
في مواقع النجوم؟
هل من الممكن توقع التصادمات بين الكواكب؟
هل تستطيع الجاذبية أن تدفع
ببعض الكواكب إلى اللانهاية؟
أو بالعكس،
هل يجب أن ننتظر استقرارا
في حركة النظام الشمسي؟
هاهي أسئلة دقيقة.
مثلما يحدث دائما في الرياضيات،
أمام مسألة صعبة جدا،
نبحث أولا عن حالة أبسط.
شاهدوا هذا الحوض
المكافئي الشكل.
إذا رمينا كرة،
فإنها ستخضع لثقلها
ولقوة رد الفعل
التي تجبرها على البقاء على السطح.
نرى أن المسألة شبيهة
بمسألة كوكب،
تجذبه الشمس.
تبدو الحركة منتظمة بما يكفي
لتُحاكيَ نظاما شمسيا معقدا
يتكون من كواكب كثيرة.
لنأخذ حوضا أكثر تعقيدا.
ما انفكت الكرة خاضعة لثقلها
ولقوة رد فعل السطح.
الحركة بالفعل معقدة.
لنستبعد ثقل الكرة
ولنحتفظ بقوة رد فعل السطح.
لنستمع إلى ﭘيير دوهام،
فيلسوف العلوم،
في عرض لأعمال
الرياضياتي هادامار.
الصادرة سنة 1898 في مقال تحت العنوان:
"حول جيوديزيات السطوح
ذات الانحناءات المتناظرة".
"كتلة مادية
تنزلق على سطح؛
،[...] دون جاذبية
لا احتكاك يزعج حركتها.
إنها ترسم خطا
يسميه الهندسيون
خطا جيوديزيا
للسطح المأخوذ بعين الاعتبار.
عندما نختار الموضع الأولي
لنقطتنا المادية
ومنحى حركتها الأولية
فإن الجيوديزية التي سترسمها
محددة تماما.
لنتخيل جبهة ثور
[...] مع الزيادتين البارزين حيث ينبت القرنان
والممرات المحفورة
بينهما؛
لكن لنطوّل دون حد
[...]هذين القرنين
بحيث يمتدان إلى مالا نهاية؛
سنحصل إذاك على أحد السطوح
التي نريد دراستها."
تمديد القرنين إلى ما لا نهاية؟
حقا إنها فكرة رياضياتي!
نرمي كرة
على جبهة ثور
قمنا بتمديد قرنيه إلى ما لا نهاية ...
سنستعمل
مثالا مختلفا
لكنه في النهاية مثال اقرب
إلى جيوديزيات هادامار:
لعبة البليار.
ها هي طاولة بليار مستطيلة.
أرمي كرة ...
ثم أخرى،
بنفس الطريقة تقريبا.
شيء بسيط إلى حد بعيد،
تسلك الكرتان مسارين متقاربين.
طاولة بليار ناقصية؟
أيضا شيء بسيط إلى حد بعيد.
هنا أيضا، لكرتين تنطلقان
بشروط أولية متقاربة
مساران يظلان متقاربين.
كأننا تقريبا نلاحظ
جيوديزيات على جبهة ثور
ليس له قرنان.
لندخل قرنا أول،
مسمارا دائريا.
شاهدوا الآن مسارين متقاربين.
إنهما ترتطمان بالمسمار،
الأول يذهب في اتجاه،
والثاني في اتجاه آخر.
بسرعة يضحى مستقبلاهما
مختلفين جدا.
ها هو مستو غير منته
تستطيع الكرات أن تتدحرج عليه دون احتكاك.
توجد على هذا المستوي ثلاثة حواجز دائرية:
.Cو B ،A لنسمها
كأننا تقريبا
نلاحظ جيوديزيات
على سطح بثلاثة قرون.
لنضع كرة ونرمها.
إذا سددنا جيدا، فإن المسار يستطيع أن يصدم
، الخ.Cثم ثم BA ثم Cثم ثم BA
مسار دوري مثلثي.
هل توجد مسارات دورية أخرى؟
يثبت هادامار مبرهنة رائعة.
يؤكد أنكم إذا اخترتم
أي كلمة
C ،B، A مكتوبة بالحروف الثلاثة
مع مراعاة أن يكون كل حرفين متتابعين
مختلفين،
على سبيل المثال، ABABCABC
فحينئذ...
يوجد مسار دوري وحيد
يزور المسامير على التوالي
وفق الترتيب الذي تملية الكلمة المختارة.
أنتم ترون تعقيد الوضع:
مقابل كل كلمة،
يوجد مسار دوري.
وهناك كلمات كثيرة.
... ABCBCBCBCBC على سبيل المثال، الكلمة
هي مسار يتظاهر أنه
C و B يلعب بين
وهو خلال كل 11 قفزة
.A يصطدم مرة واحدة بالمسمار
بالطبع، يجب أن نسدد بدقة
وبدقة كبيرة!
يُذكّرنا ذلك بالأعداد الحقيقية.
لبعضها
كتابة عشرية دورية،
وهي الأعداد الناطقة.
على سبيل المثال، هو123/999
0,123123123...
.0,285714285714285714... هو2/7و
الأعداد الصماء من جهتها
لها كتابة عشرية
غير دورية،
على سبيل المثال.π
بليارنا أيضا يشبه ذلك.
بعض المسارات دورية
وكل منها تمثله كلمة
.C, B, Aدورية من الحروف
فيما أخرى تمثلها
كلمات غير منتهية وغير دورية.
وأخيرا هناك مسارات أخرى
عددا منتهيا من المرات C، B، Aتقوم بزيارة
ثم تذهب إلى مالا نهاية
ولن تعود أبدا.
لنشاهد ثور دوهام.
"هناك أولا جيوديزيات
تنغلق على نفسها.
وهناك أخرى،
دون أن تمر تماما من جديد
بنقطة بدايتها،
لا تبتعد عنها أبدا بشكل غير منته؛
البعض يدور دونما انقطاع
حول القرن الأيمن،
[...] فيما يدور الآخر حول القرن الأيسر
وهناك أخرى أكثر تعقيدا
تُناوب، وفق قواعد محددة،
الدورات التي تقوم بها حول أحد القرنين
مع تلك التي تقوم بها
[...]حول القرن الآخر
،[...]على جبهة ثورنا
توجد جيوديزيات
تذهب إلى ما لا نهاية،
بعضها يتسلق القرن الأيمن،
."[...]والبعض الآخر يتسلق القرن الأيسر
تخيلوا أن القمر،
بعد بقائه بسكينة ووقار
إلى جانب الأرض،
يقرر فجأة،
الرحيل إلى ما لا نهاية ...
"بالرغم من هذا التعقيد،
إذا كنا نعلم بدقة تامة
الموضع الأولي لنقطة مادية
على جبهة الثور
ومنحى السرعة الأولية،
فإن الخط الجيوديزي الذي ستسلكه هذه
النقطة خلال حركتها
يكون محددا بشكل لا لبس فيه.
ستكون الحال خلاف ذلك
إذا كانت الشروط الأولية
معروفة ليس رياضياتيا
وإنما عمليا."
قدروا الدقة هنا جيدا!
ليس رياضياتيا وإنما عمليا.
شاهدوا هذه الجيوديزيات التي تنطلق
تقريبا في نفس الشروط.
لبعض الوقت،
ستتبع نفس الطريق تقريبا
... تنفصل. ثم
لكل من الجيوديزيات الخضراء الحمراء والزرقاء
مستقبل مختلف تماما.
"إذن إذا رُميت نقطة مادية
على السطح الذي تتناوله الدراسة
من موضع معطى هندسيا،
وبسرعة معطاة هندسيا،
فإن الاستنتاج الرياضياتي
يستطيع تحديد مسار هذه النقطة
وتحديد ما إذا كان هذا المسار
سيبتعد إلى ما لا نهاية أم لا.
لكن، بالنسبة إلى عالم الفيزياء،
فلن يكون هذا الاستنتاج قابلا للاستعمال أبدا."
كل ذلك يتعلق الآن بجيوديزيات
بليار أو بمساراته.
هل يمكن تطبيق ذلك
في الحياة اليومية؟
على حركة الكواكب مثلا؟
السؤال حول تحديد مستقبلي
سيبقى دائما دون جواب.