混沌 4- 單擺
從簡單的事情開始吧
伽利略在十六世紀時
曾觀察一盞隨風搖擺的油燈
並用自己的脈搏測量
燈的擺動週期
如何描述一個單擺的擺動？
單擺的端點畫出一段圓弧
我們用藍色標出這個圓
將這個圓放在
一個圓柱的中心圓上
中心圓上的每個點
代表單擺的某個特定位置
例如紅點
代表單擺的最低處
紅色的向量
代表單擺的速度
可以簡單地被一個數字描述
這個數可正可負
分別代表兩個不同的擺向
由此可以用圓柱上的垂直座標
來代表這個速度
這樣圓柱上的一個點
就給出了單擺的位置和速度
點的水平座標
告訴我們單擺的位置
垂直座標
告訴我們擺的速度
現在
讓單擺
隨著重力擺動
注意！
我們先假設
沒有任何摩擦力
擺動將週而復始
如果單擺的初始位置較低
並且初始速度不是太大
那麼得到的擺動將是週期性的
這一點我們都知道
如果我們增加擺幅
也許太大了...
單擺開始兜起大圈
它仍是週期運動
但和剛才的不一樣
你看它圓柱上的軌跡
正是由某個向量場所畫出的軌線
讓我們來觀察更真實的情況
這一次假設摩擦力存在
單擺越擺越慢
然後終於...
停止不動
回想一下亞里斯多德的理論：
單擺回到底部
那是它的自然位置
再來看一下
圓柱上的向量場
所有軌線都終止於
中間的不動點
我們說這個平衡點
是個穩定的吸引子
帶有摩擦力的鞦韆
其實沒有那麼有趣
過一會兒，它就停止了
有人推的鞦韆，盪起來比較好玩
這樣才盪得高
在弗拉戈納爾畫作裡的那位紳士
也是這麼想的
他似乎對那只鞦韆
非常感興趣...
簡單地說
我們將假設那只單擺
除了受重力和摩擦力的作用
還另外受到一股
由小噴射口帶出的推力
那是個上面裝有
小具噴射引擎的現代單擺
比方說，我們可以施加推力
但僅當速度與傾角
都小於一定值時
才這麼做
假若單擺開始得慢
它將受到推力
使之加速，再加速......
直到它擺得過快
才停止推動
此時摩擦力開始動工
使其減速，再減速......
直到推力再次出手相救
週而復始
最後
擺動趨向一個
穩定的週期狀態
龐加萊將它稱作「極限環」
這有點像混沌的對立面
週而復始
人人守紀
我們來看一下圓柱上
這個被稱為「相圖」的圖形
紅色的圈，是極限環
我們看到一條螺旋軌線
一段時間後
我們再也區分不出
螺旋軌線和週期軌線的差異
這裡有個生態學上的簡單例子：
洛特卡－沃爾泰拉模型
創立於1930年代
兩個生物族群共享一塊領土
通常我們以兔子和狐狸作為例子
我們來看一個比較奇幻的例子
鴨子和睡蓮
想像一下鴨子靠吃睡蓮維生
當鴨子的數量少
牠們只能吃掉很少的睡蓮
睡蓮因此得以
大量和快速地繁殖
當有大量的睡蓮
和少量的鴨子時
鴨子們得享飽足
於是數目增加
但如果鴨子的數量太多......
睡蓮會被吃光
如果睡蓮的數量變得過少
鴨子就沒東西吃了
數量也會隨之減少
情況回到原狀
一切重新開始
我們可以用平面上的一個點表示
某一個時刻的狀況：
橫座標代表
睡蓮的數目
而縱座標代表鴨子的數目
事實上，它描述了
一個平面上的向量場
隨著時間
我們必須沿著
由向量場導出軌跡前進
進而得到一個極限環
睡蓮和鴨子的族群總數
最後將環繞於
一個週期軌道上
長久以來，科學上人們總是相信
任何運動，在經過短暫的過渡期後
最終都會穩定下來
要不停止
要不呈週期運動
十九世紀末期
龐加萊其中一個
奠基早期動態系統理論的定理
似乎驗證了這個信念
這個定理涉及到
平面上的向量場
例如這樣的向量場
我們並不知道太多細節
我們只知道
它在這個圓周附近的行徑
現在取一個
進入圓盤的軌線
它會往哪裡去？
事實上
龐加萊－本迪克松定理
斷言只有兩種可能性
要不軌線無窮趨近於某個平衡點
就像這樣
正如之前我們所看到
帶有摩擦的單擺
或者
它將無窮逼近一個極限環
我們如何證明
這樣的定理？
以下是主要的想法：
取圓上的一個點
並觀察它滲入圓內的
運動軌跡
停！
讓我們停在點P
並觀察在它附近的軌跡
當軌線繼續前進
它是否有可能
回到這點附近？
假設它確實返回
到一個附近點Q
注意從P到Q的軌線線段
再加上QP間的連線
形成一條封閉的曲線
這條封閉曲線包住一個
藍色的內部區域
我們看到
從Q出發的軌線
進到藍色區域後
再也走不出去
被困在裡頭
如果想要出去
它必須穿過PQ弧形軌線
但兩條軌線
無法相交
為什麼呢？
因為如果兩條軌線
通過相同的點
這將違背
柯西－利普希茨定理：
通過一點的只有一條軌線
因此
從Q點出發的軌線
只能從線段QP逃脫
但在QP線段上
向量均指向內
沒有向外指的
所以你看
該軌線從P點出發
雖然可能回到P點附近
但之後
它再也無法回來
我們說，這條軌線沒有回歸性
這就是龐加萊－本迪克松定理
的主要想法
這個定理開創了
我們稱之為
動態系統的定性理論
即便我們對某個向量場
只有片面的了解
我們常常還是可以理解
軌跡的行徑與特性
在平面上
一切如我們所想像的
軌線最後趨向
週期軌線
或趨近於
一個平衡位置
但龐加萊很快就發現
他的定理僅適用於
二維平面上的向量場
也就是涉及到很少的動態系統
從三維開始
我們將看到
更多，更多，更多
豐富且令人驚豔的現象
再會了，溫馴又善良的極限環
歡迎來到混沌的世界！