摆动-CHAOS4
从简单的事情开始吧。
伽里略在十六世纪时，
曾观察一盏风中摇坠的油灯，
并用自己的脉搏来测量
灯的摆动周期。
如何描述一个单摆的摆动？
单摆的端点画出一段圆弧，
我们把它用蓝色标出。
可把这个圆复制在
一个圆柱的中心圆上。
中心圆上的每个点
代表摆的某个特定位置。
例如红点
代表单摆位于最低处。
那么摆的速度，
那个红色向量，
可以简单地被一个数字描述。
这个数可正可负，
分别代表两个不同的摆向。
由此可以用圆柱上垂直坐标
来代表这个速度。
这样圆柱上的一个点，
就给出了单摆的位置和速度。
点的水平坐标，
告知单摆的位置，
而垂直坐标，
告知摆的速度方向和大小。
现在，
让单摆
随重力摆动。
注意！
我们首先假设
没有摩擦。
摆动将周而复始......
如果初始位置较低，
且初始速度不是太大，
那么得到的摆动是周期性的。
我们都知道这一点。
也许太大了一点儿
单摆兜起了大圈。
它仍然是周期性的，
但和刚才的不一样。
你看它在圆柱上画出的轨线
正是某个向量场的一条轨线。
让我们来观察更真实的情况。
这一次假设确有摩擦力存在。
振荡逐渐变慢
然后终于...
停止不动。
你可还记得亚里斯多德的理论：
单摆总是努力回归到
它的自然位置：底部！
再来看一下
圆柱上的向量场。
所有轨线都终止于
中间的不动点。
我们说，这个平衡点
是个稳定的吸引子。
带有摩擦的秋千，
其实没有那么有趣。
过了一会儿，它就自己停下来了。
有人推的秋千，荡起来才好玩，
这样能荡得很高很快。
在弗拉戈纳尔画作里的那位绅士
也是这么想的
他似乎对那只秋千
非常感兴趣...
简单地说，
假设我们那只单摆，
除了受重力和摩擦力的作用，
还另外受到一股
由小喷射口带出的推力。
那是个摆头上装有
小喷射引擎的现代单摆。
例如，可以设定，
当速度与倾角
都小于一定值时，
它会自动施加推力。
当单摆变慢时，
推力启动，
使它加速，再加速......
直到它摆得太快时，
推力暂停。
这时摩擦力开始称霸。
它迫使单摆减慢，减缓...
直至推力再次出手相救。
如此周而复始。
最后，
摆动趋于一个
稳定的周期状态。
庞加莱称之为［极限环］。
这有点像混沌的对立面：
周而复始
人人守纪。
现在来看一下圆柱体上
这个叫做相图的图形。
红圈是...极限环。
一条轨迹呈螺旋式逼近它。
一段时间后，
就几乎混迹于
红色闭轨中了。
这里是个简单的例子
用来说明生态学中的
Lotka-Volterra模型。
它创立于20世纪30年代。
两个生物族群共享一块领土。
通常人们例指兔子和狐狸。
让我们采用童幻式的
鸭和睡莲。
鸭子靠吃睡莲维生。
当鸭子的数量很少时，
它们只能吃掉很少的睡莲。
睡莲因此得以
大量和快速的繁殖。
当有大量的睡莲
和很少量的鸭子时
鸭子们吃饱喝足，
于是数目得以增加。
但是，如果有太多的鸭子...
睡莲会被大量吃掉。
而睡莲的数量变得过少，
鸭子们就不再有足够的食物，
它们的数量也会随之减少。
情况回归原状，
一切重新开始。
我们可以用平面上的一个点，
来表示某一时刻的状况：
水平坐标代表的是
睡莲的数目，
垂直坐标是鸭子的。
事实上，它描述了
一个平面上的向量场。
随着时间的推移，
我们必须遵循
这个场上的轨迹。
我们又得到了一个极限环。
这一对儿睡莲和鸭子的总数，
最终将环绕于
一个周期轨道上。
长期以来，一个科学界的主流信念是，
任何运动，在经过短暂的
过渡期后，
最终都会稳定下来
要不停止，
要不呈周期运动。
十九世纪末期，
庞加莱创立了
动力系统的理论。
其奠基定理之一，
似乎验证了这个信念。
这个定理涉及到
平面上的向量场。
例如这样的一个向量场。
我们并不知道太多的细节。
我们只知道
它在这个圆周附近的行径。
现在取一个
进入圆盘的轨线。
它会往哪里去？
事实上，
庞加莱－本迪克松定理断言
只有两种可能性：
或者，
轨线将无穷逼近
某个平衡点，
就像这个样子，
正如我们之前看到过的
带摩擦的单摆；
或者，
它将无穷逼近一个极限环。
我们怎样才能证明
这样的一个定理？
其中的主要思想是这样的：
取圆上的一个点，
并观察它渗入圆内的
运动轨迹。
停！
让我们暂停在点P，
并观察相邻的点的轨迹。
当轨线继续前进
它是否有可能
又回到这点附近？
假设它确实返回来，
到一个附近点Q。
注意从P到Q的弧形轨线，
再加上QP间的短连线，
形成一条封闭的曲线，
这条闭曲线包住了一个
蓝色的内部区域。
我们看到，
从Q出发的轨线，
进到蓝色区域后，
再也走不出去了。
它被困住了。
因为要走出去必得穿过这闭曲线，
但它首先不可能穿过PQ间的弧型轨线
这是因为两条轨线
不能相交。
这又是为什么呢？
因为，若两条轨线
通过相同的点，
这将违背
柯西－李普希茨定理 ：
过一点只有一条轨线。
因此，
从Q出发的轨迹，
最多只能穿过短线段QP逃脱。
但在这线段上，
向量们都指向内，
没有朝外指的。
所以你看
该轨线从P出发，
虽然可能绕回到P点附近，
但随后，
它就再也无法回来。
我们说，轨线没有回归性。
这是庞加莱－本迪克松定理的
主要的想法。
这个定理奠基了
所谓的
动力系统的定性理论。
我们常常还是可以理解
轨迹的行径与特性。
在平面上，
一切如我们想象的那样。
轨迹们最终会趋向
周期轨线，
或趋近于
一个平衡点。
但是庞加莱很快就发现
该定理仅适应于
二维平面上的向量场，
也就是只涉及到很少的动力系统。
从三维开始，
我们将看到
很多，很多，很多，
丰富多彩且令人惊艳的现象。
别了，温驯善良的极限环，
让我们大步踏入，混沌的世界！