KAOS - 4. del Guganje
Začnimo z enostavnim.
V 16. stoletju je Galileo opazoval nihajočo svetilko
in meril periodo oscilacije s pomočjo lastnega srčnega utripa.
Kako lahko opišemo gugajoče se nihalo?
Konica nihala se giblje po modri krožnici.
Postavimo to krožnico na valj - takole.
Vsaka točka krožnice predstavlja položaj nihala.
Rdeča točka denimo predstavlja položaj na dnu.
Njeno hitrost, torej rdeči vektor,
lahko preprosto opišemo s številom,
ki je pozitivno ob vrtenju v eno smer
in negativno ob nasprotni smeri.
To število predstavimo na navpičnem položaju valja.
Z eno točko na valju torej hkrati opišemo položaj in hitrost.
Prva koordinata na bazni krožnici opisuje položaj nihala,
navpična koordinata pa določa hitrost nihanja.
Zaupajmo zdaj delo gravitaciji in opazujmo nihalo.
Pozor: ves čas predpostavljamo, da lahko trenje kar zanemarimo.
Nihanje se nikoli ne konča.
Če je začetni položaj nizek in začetna hitrost ni prevelika,
je gibanje nihala periodično.
To vemo vsi.
Če nihalo poženemo hitreje, morda celo prehitro,
bo napravilo cel krog naokoli.
Še vedno je gibanje periodično, a ne na isti način.
Oglejmo si trajektorijo na valju.
Potuje po vektorskem polju.
Opazujmo bolj realistično situacijo, v kateri nastopa tudi trenje.
Oscilacija postopoma upade in nazadnje se nihalo ustavi.
Spomnimo se Aristotela:
nihalo je zdaj spet v svojem naravnem položaju na dnu.
Opazujmo ustrezno vektorsko polje na obodu valja.
Trajektorije sčasoma obstanejo v ravnovesnem položaju.
Ta ravnovesni položaj imenujemo stabilni atraktor.
Nihanje s trenjem ni tako zabavno,
saj se sčasoma ustavi.
Nihalo zato potisnemo tako, da bo šlo zares visoko.
To si želi tudi gospod na sliki slikarja Fragonarda,
ki ga nihalo očitno zelo zanima.
Predstavljajmo si, da na nihalo ob silah gravitacije in trenja
deluje še sila potiska, ki jo ustvarja majhna šoba.
Sodobno nihalo z majhnim reaktivnim motorjem!
Denimo, da nihalo dodatno potiskamo le, kadar sta hitrost
in naklon nižja od neke izbrane vrednosti.
Če nihalo začne počasi, ga potisnemo in tako
pospešuje in pospešuje, dokler potiskanje ne neha,
ker smo presegli dovoljeno hitrost.
Trenje prevzame nadzor in nihalo se upočasni,
vse dokler ga spet ne reši potiskanje, in tako dalje.
Končno se nihanje stabilizira v periodičnem načinu.
Poincaré je govoril o limitnem ciklu.
To je na neki način nasprotje kaosa.
Periodični način.
Vse je usklajeno.
Kar je narisano tukaj, imenujemo fazni portret valja.
Limitni cikel je obarvan rdeče.
Pred nami je spiralna trajektorija, ki postopoma postane periodična.
Tu je preprosta ilustracija tega fenomena v ekologiji:
model Lotka in Volterre, predstavljen okoli leta 1930.
Ozemlje si delita dve populaciji, denimo zajci in lisice.
Z našo domišljijo lahko uporabimo tudi race in vodne lilije.
Predstavljajmo si, da race jedo vodne lilije.
Kadar ni veliko rac, te pojedo le malo lilij,
zato število vodnih lilij hitro narašča.
Ko pa ima malo število rac na razpolago veliko vodnih lilij,
je torej hrane na pretek in število rac začne naraščati.
Toda veliko število rac požre veliko vodnih lilij.
Ko začne vodnih lilij primanjkovati,
race nimajo več hrane, zato njihovo število upade.
Tako se je krog zaključil in lahko začnemo novega.
Situacijo lahko v vsakem trenutku opišemo s točko na ravnini:
prva koordinata predstavlja število vodnih lilij,
druga pa število rac.
Pravzaprav dobimo vektorsko polje v ravnini....
Race in lilije sledijo trajektoriji vektorskega polja,
in sčasoma dosežejo limitni cikel.
Populaciji rac in vodnih lilij sčasoma oscilirata periodično.
Prepričanje, da se vsako gibanje po nekem prehodnem obdobju
sčasoma stabilizira - torej se bodisi ustavi,
bodisi preide v periodično oscilacijo,
je v znanosti prevladovalo zelo dolgo časa.
Eden prvih izrekov teorije dinamičnih sistemov
francoskega matematika Poincaréja v poznem 19. stoletju
je to prepričanje na videz še utrdil.
Izrek govori o vektorskih poljih v ravnini.
Predstavljajmo si vektorsko polje na sliki.
Pravzaprav polja sploh ne poznamo v vsaki točki,
vendar vemo, kako deluje v bližini te krožnice.
Vzemimo trajektorijo, ki vstopi v krog.
Kam bo nadaljevala pot?
Izrek Poincaréja in Bendixsona pravi, da sta možnosti le dve.
Trajektorija bo šla bodisi blizu ravnovesnega položaja,
kot vidimo tukaj in smo videli tudi pri dušenem nihalu,
ali pa se bo bližala limitnemu ciklu.
Kako lahko tak izrek dokažemo?
Tukaj je osnovna ideja.
Izberimo točko na krožnici in opazujmo njeno trajektorijo,
ki vstopi v krog.
Stoj!
Ustavimo se v točki P.
Oglejmo si trajektorije v njeni okolici.
Ali je mogoče, da se trajektorija nadaljuje in vrne v okolico P?
Predpostavimo, da se v resnici vrne k točki Q.
Odsek trajektorije med P in Q skupaj z daljico QP
tvori sklenjeno krivuljo.
To je meja nekega območja, obarvanega z modro barvo.
Vidimo lahko, da trajektorija z začetno točko Q
po vstopu na modro območje ne more več ven!
Ujeta je.
Da bi lahko izstopila, bi morala prečkati odsek PQ,
toda dve trajektoriji se ne smeta sekati.
Zakaj?
Če bi dve trajektoriji vsebovali skupno točko,
bi to nasprotovalo izreku Cauchyja in Lipschitza,
da skozi vsako točko poteka natanko ena trajektorija.
Trajektorija z začetno točko Q tudi ne more prečkati premice QP,
saj je vektorsko polje tam usmerjeno navznoter in ne ven.
Vidimo lahko, da se trajektorija iz P
brez težav vrne v bližino P,
nato pa je obsojena na pot brez vrnitve...
Pravimo, da nima povrnitve.
To je glavna ideja izreka Poincaréja in Bendixsona.
Ta izrek predstavlja začetek takoimenovane
kvalitativne teorije dinamičnih sistemov.
Tudi če imamo na voljo le nepopolne podatke o vektorskem polju,
lahko pogosto določimo obnašanje njegovih trajektorij.
V primeru ravnine vse poteka gladko:
trajektorije postanejo sčasoma periodične ali pa
se vedno bolj bližajo ravnovesnemu položaju.
Toda Poincaré je kmalu odkril, da njegov izrek velja
samo za polja v dveh dimenzijah, torej le za zelo majhne sisteme.
V treh ali več dimenzijah pa lahko postane izkušnja
veliko, veliko bolj pestra, in tudi lepša.
Nič več preprostih limitnih ciklov.
Dobrodošli v svet kaosa!