ХАОС Глава 4 — Маятник
Сначала о простом…
В шестнадцатом веке Галилей наблюдал качающийся фонарь
и замерял период колебаний, используя собственный пульс.
Как мы можем описать качающийся маятник?
Грузик маятника движется по синей окружности.
Давайте поместим эту окружность на цилиндр,
вот так.
Каждая точка окружности соответствует состоянию маятника.
К примеру, красная точка — это положение внизу.
Скорость маятника, красный вектор, описывается числом:
положительным, если он вращается в одну сторону,
и отрицательным, если в другую.
Мы можем представить это число высотой точки на цилиндре.
Так, одна точка на цилиндре задаёт и положение, и скорость.
Первая координата, на окружности в основании,
говорит нам, где находится маятник,
а вторая, вертикальная, — как быстро он раскачивается.
А сейчас давайте дадим поработать гравитации,
а сами понаблюдаем за маятником.
Для начала предположим, что трения нет.
Колебания никогда не прекратятся.
Если начальное положение достаточно низко,
а начальная скорость — не слишком высокая,
маятник движется периодично.
Мы все это знаем.
Если мы запустим его быстрее...
возможно, слишком быстро,
он совершает полный оборот.
Это всё ещё периодическое движение,
но устроенное по-другому.
Посмотрите на траекторию на цилиндре.
Она следует вдоль векторного поля.
Теперь рассмотрим более реалистичную ситуацию, когда мы полагаем, что трение есть.
Колебания постепенно затухают,
и в конце концов маятник останавливается.
Вспомните теорию Аристотеля:
маятник вернулся в своё естественное положение внизу!
Посмотрите на соответствующее векторное поле на цилиндре.
Траектории в итоге спускаются в положение равновесия.
Это положение равновесия — аттрактор; устойчивое, притягивающее множество.
Маятник с трением не столь занимателен:
в итоге он просто останавливается.
Маятник и качели интересны, если их подталкивать, чтобы они поднимались высоко.
Эту точку зрения явно разделяет джентельмен, изображённый художником Фрагонаром,
который тоже очень интересуется...
качелями.
Давайте вообразим себе маятник, на который, помимо гравитации и трения,
воздействует также внешняя сила, создаваемая небольшим соплом.
Современный маятник с маленьким реактивным двигателем!
К примеру, будем его подталкивать, но только если скорость и угол наклона
не превышают определённого значения.
Если маятник стартует медленно, то двигатель его подтолкнет,
он будет ускоряться до тех пор, пока толчки не прекратятся,
когда скорость становится слишком большой.
Трение преобладает, и он замедляется, замедляется,
пока подталкивающий двигатель вновь не приходит на помощь, и т.д.
В конце концов, колебания выходят на периодический режим.
Пуанкаре называет это предельным циклом.
Противоположность хаосу, в некотором смысле.
Периодическое движение.
Всё в такт!
Вот здесь то, что называют фазовым портретом на цилиндре.
Предельный цикл выделен красным.
Мы видим спиральную траекторию, которая постепенно становится периодической.
Вот простой пример, который иллюстрирует всё это в экологии:
модель Лотки—Вольтерра, датируемая 1930-ми годами.
Два вида живут на одной территории.
Обычно говорят о зайцах и лисицах.
Мы пофантазируем и рассмотрим уток и кувшинки.
Представьте, что утки едят кувшинки.
Когда уток мало, они съедают совсем немного кувшинок.
Поэтому популяция кувшинок стремительно растёт.
Когда уток мало, а кувшинок много,
уткам легко прокормиться и их количество увеличивается.
Но много уток
съедают много кувшинок!
Когда кувшинок становится всё меньше и меньше,
уткам становится нечего есть и их число уменьшается.
Мы прошли полный цикл и можем начинать заново.
Мы можем изобразить ситуацию в данный момент времени точкой на плоскости:
первая координата изображает число кувшинок,
а вторая — уток.
В сущности, мы получаем векторное поле на плоскости.
С течением времени утки и кувшинки следуют траекториям этого поля
и достигают предельного цикла.
Численности популяций уток и кувшинок изменяются периодически.
Вера в то, что любое движение, быть может, после короткого переходного периода,
в итоге стабилизируется, останавливаясь или становясь периодическим,
долго главенствовала в науке.
Одна из первых теорем в теории динамических систем,
доказанная Пуанкаре в конце XIX века,
казалось бы, подтверждает это.
Она говорит о векторных полях на плоскости.
Представьте себе такое векторное поле.
В действительности мы не знаем векторного поля везде,
но мы знаем, как оно ведёт себя вблизи этой окружности.
Рассмотрим траекторию, входящую в диск.
Куда она может направиться?
Теорема Пуанкаре — Бендиксона утверждает, что возможны два случая:
либо траектория будет подходить очень близко к положению равновесия,
как сейчас,
это то, что мы наблюдали для маятника с трением.
Либо же она должна приближаться к предельному циклу.
Как же можно доказать такую теорему?
Вот основная идея.
Возьмём точку на окружности
и посмотрим на её траекторию, которая входит в круг.
Стоп!
Пусть мы остановились в точке P.
Посмотрите на траектории в окрестности P.
Возможно ли, чтобы траектория продолжила движение
и вернулась в окрестность P?
Давайте допустим, что, действительно, она вернётся в точку Q.
Дуга траектории между P и Q,
дополненная отрезком QP, —
замкнутая кривая.
Это граница определённой области,
закрашенной синим.
Можно видеть, что траектория, начинающаяся в Q, входит в синюю область
и потом больше не может выбраться наружу!
Она в ловушке...
Чтобы выйти, она должна пересечь дугу PQ,
но две траектории не могут пересекаться.
Почему?
Ну, если бы две траектории проходили через одну точку,
это противоречило бы теореме Коши — Липшица:
через одну точку проходит единственная траектория!
Траектория, начинающаяся в точке Q, не может выбраться и через отрезок QP,
поскольку на нём векторное поле направлено внутрь области, а не наружу.
Вы можете видеть, что траектория из P вполне может оказаться неподалёку от P,
но потом она обречена никогда не возвращаться.
Говорят, что в этом случае нет рекуррентности.
Это — основная идея теоремы Пуанкаре — Бендиксона.
Это теорема отмечает начало того, что принято называть
качественной теорией динамических систем.
Даже если наши знания о векторном поле скудны,
зачастую можно понять поведение его траекторий.
В плоском случае всё хорошо:
траектории со временем становятся периодическими,
либо стремятся к положению равновесия.
Но Пуанкаре вскоре открыл,
что его теорема работает только для векторных полей в размерности два,
то есть для очень маленьких систем...
Начиная с третьего измерения,
мы увидим, что ситуация может оказаться гораздо, гораздо богаче... и красивее!
Больше никаких предельных циклов,
добро пожаловать в мир хаоса!