CHAOS4- O balanço
Primeiro, as coisas simples….
Galileo, no século XVI
observou uma lamparina que balançava,
e mediu o período de oscilação
tomando o seu pulso.
Como descrever um pêndulo que balança?
Sua ponta se move sobre um círculo
desenhado, aqui, em azul.
Coloquemos este círculo sobre um cilindro
como este.
Cada ponto do circulo
representa uma posição do pêndulo
O ponto vermelho, por exemplo
designa a posição mais baixa
A sua velocidade
o vetor vermelho
é simplesmente descrita por um número,
positivo se rodar num sentido
e negativo, se for noutro.
Pode-se representar este número
na direção vertical do cilindro.
Este é, então, um ponto do cilindro
que descreve a posição e a velocidade.
A primeira coordenada, sobre a base,
nos diz onde se encontra o balanço
e a segunda, vertical,
nos diz a que velocidade ele gira.
Então, agora,
deixemos agir a gravidade
e observemos o balanço!
Atenção!
Supomos inicialmente
que não há nenhuma fricção.
O balanço continua ao infinito...
A posição inicial é baixa
e se a velocidade não for muito grande,
o balanço é periódico.
Nós conhecemos tudo isto.
Se se lança mais forte...
talvez mesmo muito forte,
não vai parar nunca
É ainda periódico
mas não da mesma forma.
Veja a trajetória sobre o cilindro.
Ela segue um campo de vetores.
Observemos a situação mais realista
se supõe que há atrito.
A oscilação diminue lentamente,
e finalmente...
o balanço tende a parar.
Você se lembra da teoria de Aristóteles:
o balanco volta
à sua posição natural: em baixo!
Observe o campo de vetores
correspondente sobre o cilindro...
As trajetórias, finalmente, voltam
à posição de imobilidade.
Diz-se que esta posição de equilíbrio
é um atrator estável.
Um balanço com atrito
não é, afinal, muito engraçado.
Depois de um certo tempo, ele pára!
O balanço é divertido quando empurrado,
porque ele vai bem alto.
É pois o ponto de vista do senhor,
representado por Fragonard,
que parece interessado...
no balanço.
Mais simples,
vamos imaginar que o pêndulo,
além da gravidade e da fricção,
seja submetido a um impulso
transmitido por um pequeno bocal.
Um pêndulo moderno
munido de um motorzinho.
Por exemplo, exerçamos um impulso
mas somente se a velocidade
e o ângulo de inclinação
não ultrapassem um certo valor.
Se o balanço parte devagar,
ele é impulsionado,
se acelera, se acelera,
até que não possa mais ser impulsionado
por causa da velocidade,
e então a fricção faz o seu trabalho.
Ele vai parando, parando
até o momento em que o impulso
vem de novo e resgata o movimento, etc.
Finalmente,
o balanço se estabiliza
num movimento periódico.
Poincaré fala do ciclo limite.
O contrário do caos de algum modo.
O regime periódico.
O mundo inteiro na cadência.
Veja o que é chamado
o retrato de fase do campo de vetores.
Em vermelho o ciclo limite
Vê-se uma trajetória em espiral
Depois de um certo tempo
não a distingue mais
da trajetória periódica
Veja um exemplo simples
que ilustra isto em ecologia:
o modelo de Lotka-Volterra,
datando no ano de 1930.
Duas populações partilham um território:
habitualmente, se fala de coelhos e de raposas.
Imaginemos uma situação fantasiosa
com patos e nenúfares.
Imaginem que os patos comam os nenúfares.
Quando há poucos patos
eles comem poucos nenúfares...
Os nenúfares.podem então reproduzir-se
em grande velocidade.
Quando há muitos nenúfares
e poucos patos
eles são bem nutridos
e seu número aumenta.
Mas se houver muito patos...
os nenúfares serão comidos..
Se o número de nenúfares se torna pequeno
os patos não terão nada para comer
e o seu número diminue.
o ciclo é fechado
e se recomeça!
A situação em um dado momento
é representada por um ponto do plano:
a primeira coordenada representa
o número de nenúfares
e a segunda o número de patos.
De fato, isto descreve
um campo de vetores no plano...
No decorrer do tempo,
deve-se seguir
uma trajetória neste campo
e obtém-se um ciclo limite
As populações de nenúfares e de patos
terminam por oscilar
de maneira periódica.
A crença que os movimentos,
talvez após um curto período
de transição,
terminam por estabilizar,
seja parando,
seja oscilando periodicamente,
dominará por longo tempo a Ciência.
Um dos primeiros teoremas
da teoria de sistemas dinâmicos,
de Poincaré,
no fim do século dezenove,
parece justificar isto.
Trata-se do campo de vetores
no plano.
Imagine um campo de vetores como este
de fato, ele não é bem conhecido,
mas sabe-se
como ele se comporta próximo do círculo.
Então, pegue uma trajetória
que entra no disco.
Onde ela vai?
Ah sim,
o teorema de Poincaré-Bendixson
diz que há duas possibilidades
Ou bem
Ou bem a trajetória vai se aproximar
de uma posição de equilíbrio:
como esta aqui
Isto que vimos
para o pêndulo amortecido
Ou então,
ela vai se aproximar de um ciclo limite.
Como se pode demonstrar
um tal teorema?
Veja a ideia principal.
Tome um ponto do círculo
e observe sua trajetória
que entra no círculo.
Pare!
Pare num ponto P!
Observe as trajetórias
na vizinhança de P.
É possível que a trajetória
siga o seu caminho
e volte a esta vizinhança?
Suponhamos que ela volte aí e repasse,
com efeito, num ponto Q.
Observemos o arco da trajetória entre P e Q
seguido pelo segmento QP
Isto forma uma curva fechada
que é o bordo de uma certa área,
desenhada em azul.
Vê-se:
a trajetória que parte de Q
penetra no domínio azul
e não pode sair dele.
Ela foi presa...
Para sair,
seria necessário que ela atravessasse o arco PQ
mas duas trajetórias
não podem se cruzar.
Por que?
Bem, se duas trajetórias
passassem pelo mesmo ponto,
seria uma contradição
com o teorema de Cauchy-Lipschitz:
um ponto tem uma única trajetória.
Ou bem,
deveria a trajetória que parte de Q
sair pelo segmento QP,
mas ao longo de QP
o campo de vetores entra,
ele não sai.
Veja, então,
que a trajetória que parte de P
poderia bem voltar próximo de P
mas, em seguida,
ela é condenada a não voltar...
Diz-se que não há recorrência:
esta é a idéia principal
do teorema de Poincaré-Bendixson.
Este teorema marca o nascimento
do que se chama
a teoria qualitativa dos sistemas dinâmicos.
Mesmo que só se tenha um conhecimento imperfeito
de um campo vetorial,
pode-se frequentemente entender
o comportamento de suas trajetórias.
No caso do plano,
tudo vai bem:
as trajetórias se tornam periódicas
com o tempo
ou então se aproximam
de uma posição de equilíbrio.
Mas Poincaré não tardou a descobrir
que seu teorema só é válido
para campos de dimensão 2,
isto é, para os sistemas muito pequenos.
Na dimensão 3,
veremos que a situação
pode ser muito, muito,
muito mais rica ...e bonita.
Terminados os ciclos limites fáceis,
sejam bem-vindos ao mundo do caos!