CHAOS 4- De schommel
Eerst iets eenvoudigs ...
In de zestiende eeuw
observeerde Galilei een schommelende lamp,
en hij mat de periode van de schommeling
door zijn eigen polsslag te nemen.
Hoe kunnen we een schommelende slinger beschrijven?
Zijn uiteinde beweegt
op de blauwe cirkel.
Die cirkel plaatsen we op de cylinder.
Elk punt van de cirkel
stelt een positie van de slinger voor.
Het rode punt bijvoorbeeld,
is de positie helemaal onderaan.
En de snelheid,
de rode vector,
wordt eenvoudigweg beschreven door een getal,
positief als de slinger in één richting draait,
en negatief in de andere.
We kunnen dit getal aangeven
in de verticale richting van de cilinder.
Een punt op de cilinder beschrijft dus
de positie en de snelheid van de slinger.
De eerste coördinaat, op de basis,
vertelt ons waar de slinger is,
en de tweede, verticale coördinaat,
vertelt ons hoe snel hij draait.
We laten nu
de zwaartekracht haar werk doen
en we observeren de slingerbeweging..
Let op,
we veronderstellen eerst
dat er geen enkele wrijving is!
De slingerbeweging zal nooit stoppen ...
Als de beginpositie vrij laag is
en de beginsnelheid niet te groot,
is er een regelmatige schommeling.
Dat weten we allemaal.
Als we hem wat forser in gang zetten
... misschien te fors,
dan draait hij helemaal rond.
Dit is nog altijd een periodieke beweging,
maar niet op dezelfde manier.
Bekijk de baan op de cilinder.
Die baan volgt een vectorveld ...
Nu de meer realistische situatie
waar we veronderstellen dat er wrijving is.
De oscillatie vermindert langzaam,
en de slinger heeft
de neiging om te stoppen.
Herinner U de theorie van Aristoteles:
de slinger is teruggekeerd naar
zijn natuurlijke positie: helemaal onderaan!
Hier is het bijhorende vectorveld
op de cilinder ...
De banen komen uiteindelijk onderaan terecht,
waar de slinger stil hangt.
Die evenwichtspositie noemen we
een stabiele attractor.
Een schommel met wrijving is dus
niet zo leuk
want uiteindelijk valt hij stil!
Het is leuker als er iemand duwt
zodat de schommel heel hoog gaat.
Dat is trouwens ook de mening van
de jongeman op de schilderij van Fragonard.
Hij lijkt erg geïnteresseerd in
… de schommel.
We bekijken nu een slinger,
die naast de zwaartekracht en wrijving,
ook onderworpen is aan
de stuwkracht van een kleine straalpijp.
Een moderne slinger
met een kleine straalmotor!
Laten we bijvoorbeeld de slinger duwen,
maar alleen als zijn snelheid
en uitwijking kleiner zijn
dan een bepaalde waarde.
Als de slinger langzaam vertrekt,
wordt hij geduwd,
en hij versnelt, versnelt,
totdat het duwen ophoudt
omdat hij te snel gaat.
Dan doet de wrijving haar werk
en de slinger vertraagt, vertraagt,
tot de stuwkracht weer
in actie schiet, enzovoort…
Tenslotte stabiliseert
de beweging zich
in een periodiek regime.
Poincaré noemt zoiets een limietcyclus.
In zekere zin is dit het tegenovergestelde van chaos .
Een periodiek regime.
Alles in kadans!
Dit noemt men
het fase portret op de cilinder.
De limietcyclus in het rood.
We zien een spiraalvormige baan
die na een tijdje
opgaat in de periodieke baan.
Bekijk dit voorbeeld
uit de ecologie:
het model van Lotka-Volterra,
uit de jaren 1930.
Twee populaties wonen in eenzelfde gebied:
meestal neemt men konijnen en vossen…
Met wat meer fantasie,
nemen wij eenden en waterlelies.
Stel je voor dat de eenden de waterlelies opeten.
Als er weinig eenden zijn,
worden er weinig waterlelies opgegeten..
De waterlelie populatie
kan dus snel groeien.
Als er veel waterlelies zijn
hebben de eenden veel te eten
en hun aantal zal stijgen..
Maar veel eenden
eten veel waterlelies !
Als er minder en minder waterlelies
zijn hebben de eenden te weinig te eten,
en hun aantal neemt af...
De cirkel is rond
en alles kan opnieuw beginnen!
We kunnen de situatie op elk ogenblik
voorstellen door een punt op een vlak:
de eerste coördinaat stelt
het aantal waterlelies voor
en de tweede het aantal eenden.
...en dat beschrijft
een vectorveld in het vlak ...
Als we een baan
van dit vectorveld volgen
krijgen we na verloop van tijd
een limiet cyclus.
De populaties van eenden en waterlelies
zullen uiteindelijk op
een periodieke manier schommelen.
De overtuiging dat bewegingen zich,
misschien na een korte overgangsperiode,
uiteindelijk stabiliseren,
door te stoppen of door
periodiek te schommelen,
heeft lang de wetenschap gedomineerd.
Een van de eerste stellingen
in de theorie van dynamische systemen,
door Poincaré
in de late negentiende eeuw,
leek dit te rechtvaardigen.
Die stelling gaat over
vectorvelden in een vlak.
Stel je een vectorveld voor zoals dit.
We kennen het niet heel precies,
maar we weten hoe het zich
gedraagt in de buurt van deze cirkel.
Neem een baan
die de cirkel binnendringt.
Naar waar kan die gaan?
Wel,
de stelling van Poincaré-Bendixson
beweert dat er twee mogelijkheden zijn:
Ofwel zal de baan
zeer dicht een evenwichtsposite benaderen,
zoals hier.
Dat is wat we gezien hebben
bij de gedempte slinger.
Ofwel zal de baan
een limietcyclus benaderen.
Hoe kunnen we zoiets bewijzen?
Hier is het belangrijkste idee.
Neem een punt op de cirkel
en kijk hoe zijn baan
de cirkel binnengaat.
Stop !
We stoppen bij een punt P!
Bekijk nu de banen
in de buurt van P.
Is het mogelijk dat de baan
verder gaat en weer terug
in de buurt van het punt P komt?
Stel dat ze terug voorbij komt
in een punt Q.
Bekijk het stuk van de baan tussen P en Q,
gevolgd door het lijnstuk QP.
Dit vormt een gesloten kromme
die de rand is van een zeker gebied,
in het blauw getekend.
Je ziet het :
De baan die begint bij Q
gaat het blauwe gebied binnen
en kan er niet meer uit.
Ze is gevangen!
Om eruit te geraken
zou ze de boog PQ moeten kruisen,
maar twee banen
kunnen mekaar niet kruisen.
Waarom?
Wel, als twee banen
door hetzelfde punt zouden gaan,
dan zou dat in tegenspraak zijn met
de stelling van Cauchy-Lipschitz:
door elk punt gaat maar één baan!
Ofwel moet de baan
die begint in Q
het lijnstuk QP kruisen,
maar op dat lijnstuk wijst
het vectorveld naar de binnenkant
van het gebied, en niet naar buiten.
Zo zien we dat de baan van P
wel kan terugkeren in de buurt van P,
maar daarna is ze veroordeeld
om er nooit nog terug te keren.
Men zegt dat er geen recurrentie is:
dat is het belangrijkste idee van de
stelling van Poincaré-Bendixson.
Deze stelling is het begin
van wat men de kwalitatieve theorie
van dynamische systemen noemt.
Zelfs als men een vectorveld
niet goed kent, kan men vaak
het gedrag van haar banen begrijpen.
In het geval van een vectorveld
in het vlak gaat alles goed :
de banen worden meer en meer periodiek
of ze benaderen
een evenwichtspositie.
Maar Poincaré zou al snel ontdekken
dat zijn stelling is alleen geldig is
voor velden in twee dimensies,
dat wil zeggen voor erg kleine systemen ...
Vanaf drie dimensies
zullen we zien dat de situatie
veel,veel, veel rijker
... en mooier kan zijn.
Het is gedaan met de vriendelijke limiet cycli.
Welkom in de wereld van de chaos!