CHAOS 4- Buaian
Kita bermula dengan perkara yang mudah...
Dalam abad ke-16
Galileo memerhatikan sebuah lampu yang bergoyang,
dan mengira kadar ayunannya
dengan mengira denyutannya.
Bagaimanakah dapat kita menggambarkan bandul yang berayun?
Hujung bandul
bergerak pada bulatan berwarna biru
Marilah kita meletakkan bulatan tersebut pada silinder,
seperti ini
Setiap titik pada bulatan
mewakili sesuatu kedudukan pada bandul.
Sebagai contoh, titik merah
merupakan kedudukan di bawah.
Kelajuannya,
vektor merah tersebut,
diwakili oleh sesuatu angka,
jika ia berputar dalam sesuatu arah, nombornya positif,
dan negatif jika arahnya bertentangan.
Kita boleh mewakili nombor tersebut
pada kedudukan menegak dalam silinder tersebut.
Jadi, sesuatu titik pada silinder tersebut
menggambarkan kedua-duanya kedudukan dan kelajuan.
Koordinat yang pertama pada bulatan asas,
memberitahu kita kedudukan bandul
dan yang kedua, dalam kedudukan menegak,
memberitahu kita kelajuannya.
Sekarang,
marilah kita mengenakan kuasa graviti
dan memerhatikan bandul tersebut!
Untuk masa ini,
kita menganggap ketiadaan kuasa geseran!
Ayunan tidak akan berhenti.
Jika kedudukan asal adalah rendah
dan jika kelajuan asal tidak terlalu cepat,
bandul tersebut bergerak secara berkala.
Inilah pengetahuan kita.
Jika kita melepaskannya pada kelajuan yang lebih tinggi
...mungkin terlalu tinggi,
ia berputar secara keseluruhannya!
Pergerakan ini masih berkala
tetapi caranya berbeza.
Perhatikan trajektori pada silinder tersebut.
Ia mengikuti lapangan vektor...
Perhatikanlah situasi yang lebih realistik, iaitu
tangaapan kewujudan kuasa geseran.
Ayunan tersebut menurun secara beransur-ansur,
akhirnya
bandul tersebut sentiasa berhenti.
Ingatlah teori Aristotle:
ayunan tersebut telah kembali
ke bawah dan pulang kepada kedudukan semula jadinya!
Perhatikan lapangan vektor yang sepadan
pada silinder tersebut...
Trajektorinya menjatuh secara beransur-ansur,
kepada kedudukan semula jadinya.
Kedudukan tersebut yang seimbang
digelar penarik stabil.
Sesuatu ayunan bersama dengan geseran
tidak begitu menarik
kerana ayunan tersebut akhirnya berhenti
Jadi kita harus menolak buaian tersebut
untuk menjadikannya ayun setinggi-tingginya.
Inilah juga pandangan
seorang lelaki
yang diwakili Fragonard, seorang pelukis
yang berminat hadap…buaian tersebut!
Marilah kita bayangkan bahawa bandul tersebut,
di samping kuasa graviti dan geseran,
juga dikenakan kuasa tolakan,
yang dihantar oleh muncung yang kecil.
Bandul yang moden
dengan enjin jet yang kecil!
Sebagai contoh, marilah kita menolak,
tetapi hanya jika kelajuan
dan sudut kecondongan
tidak melebihi sesuatu nilai.
Jika bandul tersebut bermula dengan perlahan,
iaditolak,
dan berpecut, berpecut,
sehingga tolakan tersebut berhenti
apabila kelajuannya terlalu tinggi.
Kuasa geseran mengambil alih pergerakannya dan
ia menjadi semakin perlahan, semakin perlahan,
sehingga tolakan tersebut dikenakan lagi, dan sebagainya..
Bandul tersebut akhirnya distabilkan
pada sesuatu rejim yang berkala.
Poincaré berbincang tentang kitaran had.
Dari sesebuah sudut, tentangan kepada konsep kaos.
Rejim berkala.
Segala-galanya dalam kesegerakan!
Inilah perkara yang digelar
potret fasa bagi silinder tersebut.
Kitaran had diwarnakan dengan merah.
Kita memerhatikan sesuatu trajektori yang melingkar
yang menjadi trajektori berkala
secara beransur-ansurnya.
Di sini adalah contoh yang mudah
yang menjelaskan konsep tersebut dalam ekologi:
model Lotka-Volterra,
bertarikh 1930-an.
Dua buah populasi berkongsi sesuatu wilayah.
Contohnya arnab dan musang...
Kita akan menggunakan khayalan kita dan
menjadikannya itik dan teratai.
Bayangkan bahawa itik-itik memakan teratai tersebut.
Apabila bilangan itik rendah
mereka hanya memakan beberapa batang teratai.
Populasi teratai
turut berkembang dengan pesat.
Apabila terdapat beberapa ekor itik,
dan banyak teratai,
itik-itik mempunyai makanan yang cukup
dan bilangan itik pun bertambah.
Tetapi itik yang banyak
turut memakan banyak teratai!
Apabila bilangan teratai semakin kurang
itik-itik kehilangan makanan mereka
bilangan itik turut menurun.
Kita telah tiba di titik permulaan,
dan kita boleh bermula sekali lagi!
Kita boleh menunjukkan keadaan pada
sesuatu masa dengan satu titik pada satah:
koordinat yang pertama mewakili
bilangan teratai
dan yang kedua, bilangan itik.
Sebenarnya, kita mendapat
lapangan vektor pada satah...
Apabila masa melanjut,
itik-itik dan teratai
mengikut trajektori berdasarkan padang tersebut dan
...tiba di sesuatu kitaran had.
Populasi itik dan teratai
akhirnya berubah secara berkala.
Keyakinan bahawa setiap pergerakan,
mungkin setelah suatu tempoh peralihan yang singkat,
akhirnya menstabilkan dirinya,
dengan berhenti,
atau bergerak dengan berkala,
telah mendominasikan bidang sains sejak lama-lamanya.
Salah satu teorem yang terawal
dalam teori sistem dinamik,
oleh Poincaré
pada akhir abad ke-19,
seolah-olah dapat memunasabahkan keyakinan ini.
Teorem ini berkaitan lapangan vektor dalam satah.
Bayangkan lapangan vektor seperti ini:
Sebenranya, kita tidak mengetahui padang vector ini secara keseluruhan,
tetapi kita mengetahui kelakuannya
berhampiran bulatan ini.
Lihatlah trajektori yang menembusi bulatan tersebut.
Ke manakah trajektori ini dapat bergerak?
Sebenarnya,
Teorem Poincaré-Bendixson
mengatakan bahwa terdapat dua kes yang berkemungkinan:
Trajektori tersebut
akan menghampiri
sesuatu kedudukan yang seimbang:
seperti keadaan ini -
inilah pemerhatian kita
hadap bandul teredam
- atau trajektorinya akan menghampiri sesuatu kitaran had.
Bagaimanakah dapat kita membuktikan teorem sebegini?
Inilah idea utamanya.
Ambillah titik pada bulatan tersebut dan
perhatikan trajektorinya
yang menembusi bulatan tersebut.
Berhenti!
Marilah kita berhenti pada titik P!
Perhatikan trajektori-trajektori
di sekitar P.
Bolehkah trajektori tersebut
berterus dan kembali di sekeliling P?
Marilah kita andaikan bahawa trajektori ini
kembali ke sesuatu titik Q.
Lengkuk yang dibentuk oleh trajektori ini antara P dan Q,
diikuti garis QP
membentuk lengkuk yang tertutup.
Inilah sempadan
sesuatu kawasan yang diwarna dengan biru.
Kita dapat melihat bahawa
trajektori yang bermula dari Q
memasuki kawasan biru
dan tidak dapat keluar daripada kawasan tersebut!
Ia terperangkap ...
Untuk keluar,
ia perlu merentas lengkuk PQ
tetapi dua trajektori tidak boleh merentas.
Mengapa?
Jika dua trajektori
melalui titik yang sama,
hal ini bertentangan dengan
teorem Cauchy – Lipschitz: hanya terdapat
satu trajektori yang melalui sesuatu titik!
Trajektori yang bermula dari Q
jugatidak dapat membebaskan diri melalui garis QP
kerana lapangan vektor di situ berfungsi untuk
masuk, dan bukan keluar.
Kamu lihatlah trajektori dari P
mungkin kembali
tidak jauh dari P
tetapi ia
tidak dapat kembali…
Ada orang berkata bahawa tidak wujud pengulangan:
Inilah idea utama untuk
teorem Poincaré-Bendixson.
Teorem ini mewakili permulaan
teori yang digelar
teori kualitatif untuk sistem dinamik.
Walaupun seseorang hanya mempunyai pengetahuan
yang tidak sempurna tentang sesuatu lapangan vektor,
kita sering dapat memahami
sifat-sifat trajektorinya.
Dalam satah,
semuanya bergerak dengan lancar:
trajektori tersebut menjadi
berkala setelah lama, ataupun
mereka menghampiri kedudukan yang seimbang.
Tetapi Poincaré menyedari
bahawa teoremnya hanya sah
untuk padang dalam dua dimensi,
dalam kata lain, untuk sistem yang kecil...
Daripada tiga dimensi dan ke atas,
kita dapat memerhatikan keadaan yang,
lebih kaya…dan indah!
Tiada lagi kitaran had yang cantik,
selamat datang kepada dunia kaos!