CHAOSAS 4 - Švytuoklė
Pradėkime paprastai...
Šešioliktame amžiuje
Galilėjus stebėjo svyruojančią lempą
ir matavo svyravimo periodą
skaičiuodamas savo pulsą.
Kaip apibūbinti svyruojančią švytuoklę?
Švytuoklės galas
juda ant mėlyno apskritimo.
Pritaisykime šį apskritimą prie cilindro -
štai taip.
Kiekvienas apskritimo taškas
atitinka svyruoklės poziciją.
Pavyzdžiui, raudonas taškas
yra pati žemiausia pozicija.
Švytuoklės greitis,
raudonas vektorius,
yra paprasčiausiai apibūdinamas skaičiumi,
kuris yra teigiamas, jei judame į vieną pusę,
ir neigiamas, jei į kitą.
Šį skaičių galime atidėti
vertikalioje kryptyje ant cilindro.
Taigi, tai bus cilindro taškas, kuris
leidžia nusakyti ir poziciją, ir greitį.
Pirmoji koordinatė
pasako, kur yra švytuoklė,
o antroji, vertikali,
parodo, kaip greitai švytuoklė juda.
Taigi dabar,
įjunkime gravitaciją
ir stebėkime svyravimą!
Kol kas tariame,
kad trinties visiškai nėra!
Svyravimai niekada nesiliaus.
Jei padinė pozicija yra žemai
ir pradinis greitis nėra labai didelis,
tai švytuoklė juda periodiškai.
Visi tą žinome.
Jei ją paleidžiame greičiau...
gal net per greitai...
ji padaro pilną ratą!
Tai vistiek bus periodiškas judėjimas,
tačiau ne toks pat.
Stebėkime trajektoriją ant cilindro.
Ji vadovaujasi vektoriniu lauku...
Dabar nagrinėkime kiek tikroviškesnę situaciją,
kai yra šiokia tokia trintis.
Svyravimai pamažu silpsta,
iki galiausiai
švytuoklė sustoja.
Prisiminkime Aristotelio teoriją:
švytuoklė sugrįžo į savo
natūralią būseną apačioje!
Stebėkime atitinkamą vektorinį lauką
ant cilindro...
Trajektorijos galiausiai nusileidžia žemyn,
į poilsio poziciją.
Ši pusiausvyros pozicija
yra vadinama stabiliuoju atraktoriumi.
Švytuoklė su savo trintimi
nėra toks labai linksmas objektas,
nes galiausiai nustoja judėti.
Taigi, turime stumtelėti švytuoklę,
kad ji judėtų tikrai aukštai.
Tai taip pat yra džentelmeno,
atstovaujamo tapytojo Fregonardo,
požiūrio taškas.
Jis atrodo labai susidomėjęs... švytuokle!
Įsivaizduokime svyruoklę,
kuri be gravitacijos ir trinties jėgų,
dar yra veikiama stumimo jėgos,
perduodamos mažo vamzdelio.
Moderni švytuoklė
su reaktyviniu varikliu!
Pavyzdžiui, stumtelkime
tik tada, kai greitis
ir svyravimo kampas
yra mažesni nei kažkokios vertės.
Jei svyruoklė pradeda lėtai,
ji yra vis pastumiama,
greitėja ir greitėja,
iki stumimai liaujasi,
kai ji juda pakankamu greičiu.
Veikiama trinties,
svyruoklė lėtėja ir lėtėja
iki vėl yra pradedama stumti.
Ir t.t.
Ilgainiui svyruoklė nusistovi
ir juda periodiniu režimu.
Matematikas Poincaré kalba apie ribinį ciklą.
Chaoso priešingybę, tam tikra prasme.
Periodinis režimas.
Viskas labai sinchroniška!
Štai ką vadiname
faziniu portretu.
Ribinis ciklas yra raudonas.
Matome spirališką trajektoriją,
kuri pamažu tampa
periodine trajektorija.
Štai paprastas pavyzdys,
kuris švariai viską paaiškina:
Lotka-Volterra modelis,
sukurtas ketvirtajame dešimtmetyje.
Dvi bendruomenės dalinasi teritoriją.
Paprastai tai būna lapės ir kiškiai...
Panaudodami fantaziją,
įsivaizduosime antis ir vandens lelijas.
Taip pat įsivaizduosime, kad antys minta lelijomis.
Kai nedaug ančių,
tai jos suvalgo vos kelias lelijas.
Lelijų vis daugėja
ir daugėja sparčiai.
Kai yra daug lelijų ir
mažai ančių,
antys labai gerai maitinsi
ir jų populiacija sparčiai auga.
Tačiau daug ančių
suvalgo labai daug lelijų!
Todėl lelijų populiacija vis mažėja ir mažėja,
o antims pradeda trūkti maisto,
todėl jų populiacija irgi sumažėja.
Vėl esame pilno rato pradžioje!
Kiekvieno laiko momento situaciją galime
atvaizduoti tašku plokštumoje:
pirmoji koordinatė nurodo
lelijų skaičių,
antroji - ančių.
Iš tikrųjų, gavome
vektorinį lauką plokštumoje...
Ilgainiui
antys ir lelijos
paklūsta lauko trajektorijai ir
pasiekia ribinį ciklą.
Ančių ir lelijų populiacijos galiausiai
svyruoja periodiškai.
Tikėjimas, kad bet koks judėjimas
po kažkokio pereinamojo laikotarpio
galiausiai stabilizuojasi,
ar sustotamas,
ar periodiškai svyruodamas,
moksle dominavo labai ilgą laiką.
Viena pirmųjų teoremų
dinaminių sistemų teorijoje,
įrodyta Henrio Poincaré
vėlyvame devynioliktame amžiuje,
patvirtina šią idėją.
Teorema yra apie vektorinius laukus
plokštumoje.
Įsivaizduokite štai tokį vektorinį lauką.
Iš tikrųjų, mes pilnai nežinome koks šis laukas yra,
tačiau žinome kaip jis elgiasi
netoli šio apskritimo.
Žiūrėkime trajektoriją,
įeinančią į skritulį.
Kur ji gali tęstis?
Taigi,
Poincaré-Bendixson teorema teigia,
kad yra du atvejai:
arba trajektorija
bus labai arti
pusiausvyros pozicijos:
kaip matome čia.
Būtent tai ir matėme
trinties slopinamos svyruoklės judėjime.
Kitas atvejis:
trajektorija artės prie ribinio ciklo.
Kaip galėtume tokią teoremą įrodyti?
Štai pagrindinė idėja.
Imkime tašką ant apskritimo ir
stebėkome jo trajektoriją,
kai ji įeina į skritulį...
Stop!
Sustokime taške P!
Pažiūrėkime į trajektorijas
taško P aplinkoje.
Ar įmanoma, kad trajektorija eis toliau
ir vėl sugrįš į P aplinką?
Tarkime, kad ji sugrįš
į tašką Q.
Ši trajektorija tarp P ir Q
kartu su linija QP
sudaro uždarą kreivę.
Ji yra riba kažkokio regiono,
pažymėto mėlynai.
Matome, kad
trajektorija, prasidedanti Q
ir įeinanti į mėlyną regioną,
nebegali ištrūkti!
Ji yra įkalinta...
Norėdama išeiti,
ji turėtų kirsti PQ,
tačiau dvi trajektorijos
niekada nesikerta.
Kodėl?
Na, jei dvi trajektorijos
praeitų tuo pačių tašku,
tai prieštarautų
Koši – Lipšico teoremai: yra tik
viena trajektorija einanti per tašką!
Trajektorija, prasidedanti Q
negali pasprukti ir pro liniją QP,
nes vektorinis laukas
yra įeinantis, o ne išeinantis.
Iš taško P trajektorija
laisvai gali sugrįžti
netoli P,
tačiau tada
ji niekada nebeištrūks...
Sakoma, kad nėra rekursijos.
Tokia yra pagrindinė
Poincaré-Bendixson teoremos idėja.
Ši teorema žymi taip vadinamos
kokybinės dinaminių sistemų teorijos
pradžią.
Net jei turime labai menką
informaciją apie vektorinį lauką,
galime nesunkiai suprasti
trajektorijų jame elgesį.
Plokštumos atveju,
viskas vyksta gražiai:
trajektorijos su laiku
tampa periodinėmis arba
yra labai arti
pusiausvyros pozicijos.
Tačiau Poincaré netrukus atrado,
kad jo teorema galioja tik
dviejų dimensijų vektoriniame lauke,
t.y. tik labai mažose sistemose...
Trijose ar daugiau dimensijų
mes pamatysime, kad situacija
gali būti daug daug
daug turtingesnė... ir gražesnė...
Jokių ribinių ciklų.
Skeiki atvykę į chaoso pasaulį!