カオス４ ブランコ
簡単なことから始めよう．
16世紀，ガリレオは
ランプが揺れているのを観察し，
自分の脈で
振動の周期を計った．
振り子の振動はどのように記述されるのだろうか？
振り子の錘は，
青色の円周の上を動く．
この円周を，
円柱面上に描こう．
円周の各点は，
振り子の錘の位置を表す．
例えば赤色の点は
最も低い位置を表す．
赤色のベクトル，
つまり錘の速度は，
１つの実数で表される．
１つの方向に回っているときは正で，
反対方向は負である．
この数値を円柱面上の
垂直方向に描くことができる．
こうして，円柱面上の点で，
位置と速度を表すことができる．
水平な円周上の第１座標が，
ブランコがどこにあるかを示し，
垂直な第２座標が，
ブランコの回る速度を示している．
では，
重力を働かせて，
振動を観察しよう．
初めは，
摩擦力は全くないとしていることに
注意しよう．
振動はいつまでも続く…
最初の位置が低く，
速度があまり大きくないとすると，
振り子は周期的に振動する．
みんなが知っている通りだ．
もっと勢いをつけて
速過ぎるくらいで始めると…
ぐるっと回ることになる．
これも周期的だが，
様子は異なる．
円柱面上の軌道を見てみよう．
軌道はベクトル場に沿って描かれる．
もっと現実的な，
摩擦力があるときを見てみよう．
振動は段々遅くなり，
ブランコは最後には…
止まってしまう．
アリストテレスの考え方を思い出そう：
ブランコは，その本来の位置，
つまり一番低い位置に戻ったのだ！
円柱面上の，対応する
ベクトル場を観察しよう．
軌道は最後には，不動点に
落ちていくのだ．
この平衡点を，
安定アトラクタと呼ぶ．
だから摩擦のあるブランコは，
結局あまり面白くない．
しばらくすると，静止してしまうからだ！
ブランコは，高くまでいくように
漕ぐから面白いのだ．
ところでこれは，フラゴナールが描いた
紳士の視線と同じだ．
彼もブランコが…
とてもお好きのようだ…
少し簡単にして，
重力と摩擦力以外に，
小さな噴射管による
推進力を持っている
ブランコを考えよう．
小型ジェットエンジン付きの
現代的ブランコだ．
ここでは，推進力は，
速度と傾きの角度が
ある値より小さいときにだけ
働かせよう．
ブランコがゆっくり動きだすときには，
推進力が働いている．
加速され，さらに加速され，
速度が大きくなり過ぎると
推進力が止まる．
今度は摩擦力が加わるから，
ブランコは減速され，さらに減速される…
そうすると，また
推進力が加わる…
最後には，
ブランコは周期的な体制になり
安定する．
ポアンカレが言う極限サイクルだ．
カオスとは正反対のものだ．
周期的な体制だ…
すべてが同期している．
円柱面の上の
位相図と呼ばれる図を見てみよう．
赤色の軌道が…極限サイクルだ．
巻きついている軌道がある．
少し時間がたつと
この軌道は周期軌道と
見分けがつかない．
この状況の簡単な例が，
環境学に現れる：
1930年代に提案された
ロトカ・ボルテラのモデルだ．
同じ地域に２つの種がいる．
よく使うたとえは，ウサギとキツネだ．
我々は，幻想的な場面にして：
アヒルとスイレンを考えるとしよう．
アヒルはスイレンを食べるとしよう．
アヒルの数が少なければ，
アヒルは少ししかスイレンを食べない．
スイレンの数は，
どんどん増加することになる．
たくさんのスイレンがあるところに，
少数のアヒルしかいなければ，
アヒルは十分な食べ物があるから，
アヒルの数は増加する．
しかし，アヒルの数が多ければ…
スイレンは食べ尽くされてしまうのだ．
スイレンの数がとても少なくなると，
アヒルは食べるものがなくなり，
アヒルの数は減る．
こうして，一回りが完成して，
初めから繰り返すことになる．
ある時刻の様子を，
平面上の１点で表すことができる：
第１座標は
スイレンの数を表し，
第２座標はアヒルの数を表す．
実際，平面上に
ベクトル場が描かれる．
アヒルとスイレンは，
時間とともにこのベクトル場の
１つの軌道をたどり，
極限サイクルに到達する．
アヒルとスイレンの数は，
最終的には，
周期的に振動することになる．
運動は，
短い過渡的な時間の後には，
停止するか，
周期的に振動するようになり，
それが続いていく：
科学において，その後長く
そう信じられるようになる．
19世紀末にポアンカレが示した，
初期の力学系理論の
定理の１つは，
それを立証しているようにも
思える．
平面上のベクトル場についての
定理である．
図のようなベクトル場を考えよう．
ベクトル場の全体はわかっていなくて，
この円周の近くの様子だけを
知っているとしよう．
円板に入っていく
軌道を取ろう．
この軌道はどこへ行くだろうか？
そうだね…
ポアンカレ・ベンディクソンの定理によれば，
２つの可能性がある．
第１の可能性は，
軌道が平衡点に
近づいていくことだ．
こんなふうにだ．
これは，前に見た
結局は止まる振り子の場合だ．
第２の可能性は，
極限サイクルに近づいていくことだ．
このような定理をどうやって
証明するのだろうか？
主要な考え方は次のようなものだ．
円周の１点を取り，
円板の内側に入っていく軌道を
観察しよう．
ストップ！
Ｐという点で止まってみよう．
点Ｐの近くの軌道を
観察しよう．
軌道が将来，点Ｐの近くに
戻ってくることが
できるだろうか？
実際に，点Ｐの近くの，
点Ｑを通ると仮定しよう．
ＰとＱを結ぶ軌道と
線分ＱＰを合わせると，
閉曲線が得られる．
この閉曲線は，青色で示した領域の
境界となる．
Ｑを出る軌道は
青色の領域に入り，
そこからは
出られないことがわかる．
軌道は罠に掛かってしまったのだ．
外に出るためには，
ＰＱを結ぶ軌道を
横切らなければならないが，
２つの軌道は交わらないのだ．
なぜだろうか？
２つの軌道が同じ点を
通過することは，
コーシー・リプシッツの定理に
矛盾する．
「１点を通る軌道はただ１つである」という定理だ．
そうすると，
Ｑを出る軌道は，線分ＱＰから
出ていかなければならないが，
線分ＱＰ上では
ベクトル場は内向きで，
外向きではない．
こうして，
Ｐを出る軌道は，
一度はＰの近くに戻ってくるかもしれないが，
その後はＰの近くに
戻ってくることはできないのである．
これを再帰性がないという：
これがポアンカレ・ベンディクソンの定理の
主要な考え方だ．
この定理は，
いわゆる力学系の定性的理論の
最初のものである．
ベクトル場の不完全な情報からでも，
しばしば，ベクトル場の
軌道の様子が
理解できるのである．
平面の場合には，
すべてがうまくいく．
軌道はそのうちに
周期的になるか
平衡点に
近づくのである．
しかし，ポアンカレはすぐに気がついた．
この定理は，２次元のベクトル場，
つまり非常に簡単なシステムで
成立しているに過ぎないのだ．
３次元以上では，
状況はもっともっと
もっと豊かで…
美しいものとなる．
やさしい極限サイクルは終わりだ．
カオスの世界にようこそ！