CAOS 4- L'altalena
Per cominciare, le cose semplici.
Galileo, nel XVI secolo,
osservava un lampadario che dondolava
e misurava il periodo di oscillazione
prendendosi il polso.
Come descrivere un pendolo che dondola?
La sua estremità si muove su un cerchio
qui disegnato di blu.
Mettiamo questo cerchio su un cilindro
come questo.
Ogni punto del cerchio
rappresenta una posizione del pendolo.
Il punto rosso per esempio
denota la posizione più in basso.
La velocità del pendolo,
il vettore rosso,
è semplicemente descritta da un numero,
positivo se si muove in un senso,
e negativo se si muove nell'altro.
Possiamo rappresentare questo numero
nella direzione verticale del cilindro.
È quindi un punto del cilindro
che ci permette di descrivere posizione e velocità.
La prima coordinata, sulla base,
ci dice dove si trova l'altalena
e la seconda, la verticale,
ci dice a che velocità si muove.
Allora adesso,
lasciamo la forza peso agire
e osserviamo l'oscillazione.
Attenzione!
Supponiamo per cominciare
che non ci sia alcun attrito.
L'oscillazione continua all'infinito...
Se la posizione iniziale è in basso
e se la velocità iniziale non è troppo grande,
si oscilla in modo periodico.
Noi conosciamo tutto ciò.
Se si lancia con più forza,
troppo forte forse...
si è partiti per un giro.
È ancora periodico
ma non allo stesso modo.
Guardate la traiettoria sul cilindro.
Segue un campo vettoriale.
Osserviamo la situazione, più realistica,
dove supponiamo che ci sia dell'attrito.
L'oscillazione rallenta poco a poco
e poi infine...
l'altalena tende ad immobilizzarsi.
Vi ricordate della teoria d'Aristotele:
l'altalena è tornata
alla sua posizione naturale: in basso!
Osservate il campo vettoriale
corrispondente sul cilindro.
Le traiettorie finiscono per cadere giù,
nella posizione d'immobilismo.
Diciamo che questa posizione d'equilibrio
è un attrattore stabile.
Un'altalena con attriti
non è dopo tutto troppo divertente.
Dopo un po', ci si ferma!
L'altalena è divertente quando la si spinge,
per farla arrivare in alto come si deve.
È d'altronde il punto di vista del gentiluomo
rappresentato dal pittore Fragonard
che pare molto interessato da...
l'altalena...
Più semplicemente,
immaginiamo che il pendolo,
oltre al peso e agli attriti,
sia sottomesso a una forza di spinta,
trasmessa da un piccolo reattore.
Un pendolo moderno
munito di un piccolo motore a reazione.
Per esempio, esercitiamo una spinta
ma soltanto se la velocità
e l'angolo d'inclinazione
non superano un certo valore.
Se l'altalena parte lentamente,
essa viene spinta,
accelera, accelera...
fino a che non la si spinge più
perché va troppo veloce.
E allora gli attriti si mettono all'opera.
rallenta, rallenta...
finché la spinta
viene di nuovo alla riscossa, etc.
Infine,
l'altalena si stabilizza
su un regime periodico.
Poincaré parla di ciclo limite.
Il contrario del caos in qualche modo.
Il regime periodico...
tutto il mondo a ritmo.
Guardate ciò che si chiama
il ritratto di fase sul cilindro.
In rosso... il ciclo limite.
Si vede una traiettoria che volteggia.
Dopo un po',
non la si distingue più
dalla traiettoria periodica.
Ecco un semplice esempio
che mostra ciò in ecologia:
il modello di Lotka-Volterra
che risale agli anni '30.
Due popolazioni condividono un territorio.
D'abitudine, si parla di conigli e volpi.
Immagineremo una situazione di fantasia:
papere e ninfee.
Immaginiamo che le papere mangino le ninfee.
Quando ci sono poche papere,
sono poche le ninfee che vengono mangiate.
Le ninfee possono quindi prosperare
a grande velocità.
Quando ci sono molte ninfee
e poche papere,
queste ultime si nutrono per bene
ed il loro numero aumenta.
Ma ci stanno ancora troppe papere...
le ninfee vengono mangiate.
Se il numero di ninfee diventa troppo basso,
le papere non hanno più nulla da mangiare
ed il loro numero diminuisce.
Il giro è completato
e si ricomincia.
Rappresentiamo la situazione ad un momento dato
con un punto del piano:
la prima coordinata rappresenta
il numero di ninfee
e la seconda il numero di papere.
In realtà, stiamo descrivendo
un campo vettoriale nel piano.
Allo scorrere del tempo,
si deve seguire quindi
una traiettoria di questo campo
e otteniamo un ciclo limite.
Le popolazioni di ninfee e papere
finiscono per oscillare
in modo periodico.
La credenza che i moti,
magari dopo un corto periodo
di transizione,
alla fine si stabilizzano,
o fermandosi,
oppure oscillando in modo periodico,
dominerà a lungo nella Scienza.
Uno dei primi teoremi
della teoria dei sistemi dinamici,
fatto da Poincaré,
alla fine del XIX secolo,
ha parso giustificare questa affermazione.
Si tratta di campi vettoriali
nel piano.
Immaginate un campo vettoriale come questo.
In realtà non lo conosciamo troppo bene.
Sappiamo soltanto
come si comporta vicino a questo cerchio.
Prendete allora una traiettoria
che entra nel disco.
Dove può andare?
Ebbene,
il teorema di Poincaré-Bendixson
afferma che ci sono due possibilità,
esclusive.
La traiettoria può avvicinarsi
molto vicino ad una posizione d'equilibrio,
come in questo caso.
È quello che abbiamo visto
per il pendolo smorzato.
Altrimenti,
deve avvicinarsi ad un ciclo limite.
Come si può dimostrare
un tal teorema?
Ecco l'idea principale.
Prendete un punto sul cerchio
e osservate la sua traiettoria
penetrare all'interno.
Stop!
Fermiamoci in un punto P.
Osserviamo le traiettorie
in un intorno di P.
È possibile che la traiettoria
continui il suo cammino
e ritorni in questo intorno?
Supponiamo per esempio che ripassi effettivamente
in un punto Q.
Osserviamo l'arco di traiettoria tra P et Q
seguito dal segmento QP.
Essi formano una curva chiusa
che è il bordo di un certo dominio,
disegnato in blu.
Lo si vede,
la traiettoria che parte da Q,
penetra nel dominio blu
e non ne può più uscire.
È intrappolata.
Per uscire,
dovrebbe attraversare l'arco di traiettoria PQ.
Ma due traiettorie
non possono incrociarsi.
Perché?
Ebbene, se due traiettorie
passassero per lo stesso punto,
sarebbe in contraddizione
con il teorema di Cauchy-Lipschitz:
un punto ha soltanto un'unica traiettoria.
Oppure,
bisognerebbe che la traiettoria che parte da Q
esca attraverso il segmento QP.
ma, lungo QP,
il campo vettoriale rientra,
non esce.
Vedete quindi
che la traiettoria che parte da P
può effettivamente tornare non troppo lontano da P
ma che poi,
è condannata à mai più tornarci.
Si dice che non c'è ricorrenza:
È l'idea principale
del teorema di Poincaré-Bendixson.
Questo teorema segna l'inizio
di quella che chiamiamo
la teoria qualitativa dei sistemi dinamici.
Anche se si ha soltanto una conoscenza imperfetta
di un campo vettoriale,
si può spesso capire
il comportamento delle sue traiettorie.
Nel caso del piano,
tutto va bene.
Le traiettorie diventano periodiche
a lungo andare,
oppure si avvicinano
ad una posizione di equilibrio.
Ma Poincaré non tarderà a scoprire
che il suo teorema è valido
soltanto per i campi in dimensione 2,
ovvero per ogni piccolo sistema.
A partire della dimensione 3,
vedremo che la situazione
può essere molto, molto,
molto più ricca... e bella.
Fine dei cicli limiti gentili,
benvenuti nel regno del caos!