Κεφάλαιο 4: Η αιώρηση
Ας αρχίσουμε από τα απλά…
Τον δέκατο έκτο αιώνα ο Γαλιλαίος
παρατήρησε ένα αιωρούμενο φανάρι
και μέτρησε την περίοδο ταλάντωσής του
χρησιμοποιώντας τον σφυγμό του.
Πώς μπορούμε να περιγράψουμε ένα αιωρούμενο εκκρεμές;
Η άκρη του εκκρεμούς
κινείται στον μπλε κύκλο.
Ας τοποθετήσουμε αυτόν τον κύκλο πάνω στον κύλινδρο
με αυτόν τον τρόπο.
Κάθε σημείο του κύκλου
αντιπροσωπεύει μια θέση του εκκρεμούς.
Το κόκκινο σημείο, για παράδειγμα,
αφορά τη θέση στο κάτω μέρος.
Η ταχύτητα του εκκρεμούς,
το κόκκινο διάνυσμα,
περιγράφεται απλά με έναν αριθμό,
θετικό αν περιστρέφεται προς τη μία κατεύθυνση
και αρνητικό αν περιστρέφεται προς την άλλη.
Μπορούμε να αναπαραστήσουμε τον αριθμό αυτό
στον κατακόρυφο άξονα του κυλίνδρου.
Οπότε κάθε σημείο του κυλίνδρου
περιγράφει και τη θέση και την ταχύτητα.
Η πρώτη συντεταγμένη, στη βάση του κυλίνδρου,
μας λέει πού βρίσκεται το εκκρεμές
και η δεύτερη, η κατακόρυφη,
μας λέει πόσο γρήγορα πηγαίνει.
Τώρα, λοιπόν,
ας βάλουμε τη βαρύτητα να δουλέψει
και ας παρατηρήσουμε το εκκρεμές!
Προσοχή!
Προς το παρόν θεωρούμε
ότι δεν υπάρχει καθόλου τριβή.
Η αιώρηση δεν θα σταματήσει ποτέ...
Αν η αρχική θέση είναι χαμηλά
και η αρχική ταχύτητα δεν είναι πολύ μεγάλη,
το εκκρεμές κινείται περιοδικά.
Όλοι μας το ξέρουμε αυτό.
Αν το εκτοξεύσουμε πιο δυνατά...
ίσως υπερβολικά δυνατά,
θα κάνει το γύρο!
Αυτό είναι πάλι μια περιοδική κίνηση,
αλλά όχι με τον ίδιο τρόπο.
Κοιτάξτε την τροχιά πάνω στον κύλινδρο.
Ακολουθεί ένα διανυσματικό πεδίο…
Τώρα ας παρατηρήσουμε μια πιο ρεαλιστική κατάσταση
όπου θεωρούμε ότι υπάρχει τριβή.
Η ταλάντωση σιγά-σιγά ελαττώνεται
και τελικά...
το εκκρεμές τείνει να σταματήσει.
Θυμηθείτε τη θεωρία του Αριστοτέλη:
το εκκρεμές έχει επιστρέψει
στη φυσική του θέση: κάτω!
Παρατηρήστε το αντίστοιχο
διανυσματικό πεδίο στον κύλινδρο.
Οι τροχιές τελικά πέφτουν
στην κατάσταση ηρεμίας.
Αυτή η θέση ισορροπίας
ονομάζεται ευσταθής ελκυστής.
Μια κούνια με τριβή
δεν έχει πολλή πλάκα
γιατί μετά από λίγο σταματάει!
Πρέπει λοιπόν να σπρώξουμε την κούνια,
για να την κάνουμε να πάει πραγματικά ψηλά.
Αυτό είναι άλλωστε το σκεπτικό του κυρίου
που ζωγράφισε ο Fragonard
και που φαίνεται να τον ενδιαφέρουν...
οι κούνιες!
Πιο απλά,
ας φανταστούμε ότι στο εκκρεμές,
εκτός από τη βαρύτητα και την τριβή,
επιβάλλεται και μια δύναμη ώσης
από ένα μικρό ακροφύσιο.
Ένα σύγχρονο εκκρεμές
με έναν μικρό κινητήρα τζετ!
Για παράδειγμα, να ωθεί,
αλλά μόνο αν η ταχύτητα
και η γωνία κλίσης
δεν υπερβαίνουν μια ορισμένη τιμή.
Αν η κούνια ξεκινήσει αργά,
τότε ωθείται,
και επιταχύνει, επιταχύνει...
μέχρι που η ώθηση σταματάει
επειδή η κούνια πηγαίνει πολύ γρήγορα.
Τότε αναλαμβάνει η τριβή.
Η κούνια επιβραδύνει, επιβραδύνει...
μέχρι η ώθηση
να έρθει ξανά να τη βοηθήσει, κτλ
Τελικά,
η κούνια σταθεροποιείται
σε ένα περιοδικό καθεστώς.
Ο Poincaré μιλάει για τον οριακό κύκλο.
Το αντίθετο του χάους, κατά κάποιον τρόπο.
Το περιοδικό καθεστώς....
Τα πάντα σε αρμονία!
Εδώ έχουμε αυτό που λέμε
διάγραμμα φάσεων του κυλίνδρου.
Ο οριακός κύκλος φαίνεται με κόκκινο.
Βλέπουμε μία σπειροειδή τροχιά.
Μετά από λίγο καιρό,
έχει γίνει ίδια
με μια περιοδική τροχιά.
Ορίστε ένα απλό παράδειγμα
που τα δείχνει όλα αυτά στην οικολογία:
το μοντέλο Loka-Volterra,
από τη δεκαετία του 1930.
Δύο πληθυσμοί μοιράζονται μια περιοχή.
Συνήθως χρησιμοποιούνται τα κουνέλια και οι αλεπούδες…
Εμείς θα χρησιμοποιήσουμε τη φαντασία μας
και θα σκεφτούμε πάπιες και νούφαρα.
Φανταστείτε ότι οι πάπιες τρώνε τα νούφαρα.
Όταν δεν υπάρχουν πολλές πάπιες,
τότε τρώνε λίγα μόνο νούφαρα.
Έτσι ο πληθυσμός των νουφάρων
μεγαλώνει ραγδαία.
Όταν υπάρχουν πολλά νούφαρα
και λίγες πάπιες
οι πάπιες τρώνε καλά
και ο αριθμός τους αυξάνεται.
Αλλά πολλές πάπιες ...
θα τρώνε και πολλά νούφαρα!
Όταν τα νούφαρα ολοένα και θα λιγοστεύουν,
οι πάπιες δεν θα έχουν τίποτα να φάνε
και ο αριθμός τους θα μειώνεται.
Κάναμε όλον τον κύκλο
και μπορούμε να πάμε πάλι απ’ την αρχή!
Μπορούμε να απεικονίσουμε την κατάσταση σε μια δεδομένη στιγμή
με ένα σημείο στο επίπεδο.
Η πρώτη συντεταγμένη αντιπροσωπεύει
τον αριθμό των νουφάρων
και η δεύτερη τον αριθμό των παπιών.
Στην πραγματικότητα έχουμε
ένα διανυσματικό πεδίο στο επίπεδο…
Με την πάροδο του χρόνου,
οι πάπιες και τα νούφαρα ακολουθούν
μια τροχιά σε αυτό το πεδίο
και καταλήγουν σε έναν οριακό κύκλο.
Οι πληθυσμοί των παπιών και των νουφάρων
και των νουφάρων
ταλαντώνονται περιοδικά.
Η ιδέα ότι κάθε κίνηση,
πιθανώς μετά από μια σύντομη
μεταβατική περίοδο
τελικά σταθεροποιείται,
είτε σε στάση,
είτε σε περιοδική ταλάντωση,
κυριαρχούσε στην επιστήμη για πολύ καιρό.
Ένα από τα πρώτα θεωρήματα
στη θεωρία των δυναμικών συστημάτων
του Poincaré
στα τέλη του δεκάτου ενάτου αιώνα,
φαινόταν να το δικαιολογεί αυτό.
Αφορά τα διανυσματικά πεδία
στο επίπεδο.
Φανταστείτε ένα διανυσματικό πεδίο σαν αυτό:
Στην πραγματικότητα δεν το γνωρίζουμε πολύ καλά,
Το μόνο που ξέρουμε είναι
το πώς συμπεριφέρεται κοντά σ’ αυτόν τον κύκλο.
Πάρτε μια τροχιά
που μπαίνει στο δίσκο.
Πού μπορεί να πάει;
Ε λοιπόν,
το θεώρημα Poincaré-Bendixson
λέει ότι υπάρχουν δύο πιθανές περιπτώσεις:
Είτε,
η τροχιά είτε θα φτάσει πολύ κοντά
σε μια κατάσταση ηρεμίας,
όπως βλέπουμε εδώ.
Αυτό είναι που είδαμε
για την απόσβεση του εκκρεμούς.
Είτε,
πρέπει να πλησιάσει έναν οριακό κύκλο.
Πώς μπορούμε να αποδείξουμε
ένα τέτοιο θεώρημα;
Να η βασική ιδέα.
Παίρνουμε ένα σημείο στον κύκλο
και παρατηρούμε την τροχιά
που μπαίνει στο εσωτερικό.
Στοπ!
Ας σταματήσουμε σε ένα σημείο Ρ.
Κοιτάξτε τις τροχιές στην περιοχή
κοντά στο Ρ.
Είναι δυνατόν η τροχιά
να συνεχίσει
και να επιστρέψει κοντά στο Ρ;
Ας υποθέσουμε ότι πράγματι
επιστρέφει σε ένα σημείο Q.
Το τόξο της τροχιάς ανάμεσα στο Ρ και στο Q,
μαζί με την γραμμή QΡ,
σχηματίζουν μια κλειστή καμπύλη.
Αυτή αποτελεί το όριο μιας περιοχής,
που φαίνεται με μπλε.
Βλέπουμε ότι
η τροχιά που αρχίζει στο Q
μπαίνει στην μπλε περιοχή
και δεν μπορεί να ξαναβγεί!
Παγιδεύτηκε…
Για να βγει,
θα πρέπει να διασχίσει το τόξο ΡQ,
αλλά οι δύο τροχιές
δεν μπορούν να διασταυρωθούν.
Γιατί;
Γιατί αν δύο τροχιές
περάσουν από το ίδιο σημείο,
αυτό θα ερχόταν σε αντίθεση
με το θεώρημα Cauchy – Lipschitz:
από κάθε σημείο περνάει μία μόνο τροχιά!
Αλλιώς,
θα πρέπει η τροχιά που αρχίζει από το Q,
να ξαναβγεί διασχίζοντας τη γραμμή QΡ.
Εκεί όμως,
το διανυσματικό πεδίο μπαίνει στην περιοχή,
δεν βγαίνει.
Βλέπετε λοιπόν,
ότι η τροχιά που ξεκινάει από το Ρ
μπορεί κάλλιστα να επιστρέψει κοντά στο Ρ
αλλά σε άυτή την περίπτωση,
είναι καταδικασμένη να μην επιστρέψει ποτέ...
Λέγεται ότι δεν υπάρχει επανάληψη:
Αυτή είναι η βασική ιδέα
του θεωρήματος Poincaré-Bendixson.
Αυτό το θεώρημα σηματοδοτεί την αρχή
της λεγόμενης ποιοτικής θεωρίας
των δυναμικών συστημάτων.
Ακόμα κι αν γνωρίζουμε ατελώς
ένα διανυσματικό πεδίο,
συχνά μπορούμε να κατανοήσουμε
τη συμπεριφορά των τροχιών του.
Στην περίπτωση του επιπέδου,
όλα πάνε καλά:
οι τροχιές είτε γίνονται περιοδικές
μετά από λίγο,
είτε πλησιάζουν
μια κατάσταση ισορροπίας.
Αλλά ο Poincaré δεν άργησε να ανακαλύψει
ότι το θεώρημά του ισχύει
μόνο για πεδία δύο διαστάσεων,
δηλαδή για πολύ μικρά συστήματα…
Από τις τρεις διαστάσεις και πάνω,
θα δούμε ότι η κατάσταση
μπορεί να είναι πολύ, πολύ,
πολύ πιο πλούσια… και όμορφη!
Όχι πια τακτικοί οριακοί κύκλοι,
καλώς ήλθατε στον κόσμο του χάους!