CAOS, Capítulo 4. El columpio
Primero, lo sencillo.
Galileo, en el siglo XVI,
observaba un lámpara balancearse
y medía el periodo de oscilación
con su pulso.
¿Cómo describir el movimiento de un péndulo?
Su extremo se desplaza sobre un círculo,
dibujado aquí en azul.
Pongamos el círculo en un cilindro
como éste.
Cada punto del círculo
representa una posición del péndulo.
Por ejemplo, el punto rojo
representa la posición inferior.
La velocidad del péndulo,
el vector rojo,
se puede describir por un número,
positivo si gira en un sentido
y negativo si lo hace en el otro.
Podemos representar este número
en la dirección vertical del cilindro.
Entonces, con un punto del cilindro,
podemos representar su posición y su velocidad.
La primera coordenada, en la base,
nos dice dónde está el péndulo
y la segunda, vertical,
nos dice a qué velocidad gira.
Ahora permitamos
que la gravedad haga lo suyo
y ¡observemos el movimiento!
¡Atención!
Estamos suponiendo
que no hay fricción.
La oscilación nunca termina.
Si la posición inicial es baja
y la velocidad inicial no es muy grande,
la oscilación es periódica.
Todos conocemos esto.
Si lanzamos más fuerte,
quizás demasiado,
¡damos toda la vuelta!
El movimiento es aún periódico,
pero de una manera distinta.
Ve la trayectoria en el cilindro.
Sigue un campo de vectores.
Observemos la situación, más realista,
donde suponemos que hay fricción.
La oscilación se alenta poco a poco
y, finalmente,
el péndulo tiende a inmobilizarse.
¿Te acuerdas de la teoría de Aristóteles?
El péndulo vuelve
a su posición natural: ¡hasta abajo!
Observa el campo de vectores correspondiente
en el cilindro.
Las trayectorias acaban por caer hasta abajo,
en la posición de reposo.
Decimos que esta posición de equilibrio
es un atractor estable.
Un péndulo con fricción
no es muy divertido.
Después de un cierto tiempo, se detiene.
Un columpio es divertido
cuando nos impulsamos para subir bien alto.
Es lo que piensa el caballero
representado por Fragonard,
a quien parece
interesarle el columpio.
Simplemente,
imaginemos que el columpio,
además de la gravedad y la fricción,
está sujeto a un empuje
transimitido por un pequeño propulsor.
¡Un péndulo moderno
con un motorcito de reacción!
Por ejemplo, empujemos un poco,
pero sólo si la velocidad
y el ángulo de inclinación
no sobrepasan cierto valor.
Si el columpio parte lentamente,
es empujado
y se acelera y se acelera
hasta que dejamos de empujarlo
porque ya va muy rápido
Entonces la fricción comienza a actuar
y se alenta y se alenta
hasta el momento donde el empuje
viene al rescate...
Finalmente,
el columpio se estabiliza
en un régimen periódico.
Poincaré habla de un «ciclo límite».
Es, en cierto sentido, lo contrario del caos.
El régimen periódico.
¡Todo el mundo en sincronía!
Ve lo que llamamos
el retrato fase en el cilindro.
El ciclo límite está en rojo.
Vemos una trayectoria en espiral que,
gradualmente,
se vuelve indistinguible
de la trayectoria periódica.
Vamos a un ejemplo simple
que ilustra todo esto en ecología:
el modelo de Lotka-Volterra,
que data de 1930.
Dos poblaciones comparten un territorio.
En general, son conejos y zorros.
Pero dejaremos libre a la imaginación
y hablaremos de patos y de nenúfares.
Imaginemos que los patos comen nenúfares.
Cuando hay pocos patos,
comen pocos nenúfares.
Los nenúfares pueden entonces prosperar
a una gran velocidad.
Cuando hay muchos nenúfares
y pocos patos,
estos últimos están bien alimentados,
y su número crece.
Pero si hay muchos patos,
¡se comen los nenúfares!
Si los nenúfares escasean,
los patos tienen poco que comer
y su número disminuye.
El círculo se cierra.
¡Y volvemos a empezar!
Representamos la situación en un momento dado
por un punto en el plano:
la primera coordenada representa
el número de nenúfares
y la segunda el número de patos.
De hecho, esto describe
un campo de vectores en el plano.
Al pasar el tiempo,
debemos seguir
una trayectoria de este campo
y obtenemos un ciclo límite.
Las poblaciones de patos y de nenúfares
acaban por oscilar
de manera periódica.
La creencia de que los movimientos,
quizás después de un corto periodo
de transición,
terminan por estabilizarse,
deteniéndose
u oscilando periódicamente,
dominó a la Ciencia durante mucho tiempo.
Uno de los primeros teoremas
de la teoría de Sistemas Dinámicos,
dado por Poincaré
al final del siglo XIX,
parecía justificar esto.
Es acerca de campos de vectores
en el plano.
Imaginen un campo de vectores como éste.
No lo conocemos por completo,
pero sabemos cómo se comporta
cerca de este círculo.
Tomemos una trayectoria
que entra en el disco.
¿A dónde puede ir?
Pues bien,
el Teorema de Poincaré-Bendixon
afirma que hay dos casos posibles:
Uno:
la trayectoria se aproxima
a una posición de equilibrio,
como ves aquí.
Es lo que vimos
para el péndulo amortiguado.
Dos:
se acerca a un ciclo límite.
¿Cómo podemos demostrar
este teorema?
Aquí va la idea principal.
Toma un punto del círculo
y observa la trayectoria
que penetra en el interior.
¡Alto!
Detengámonos en un punto P.
Observemos las trayectorias
cerca de P.
¿Es posible que la trayectoria
continúe su camino
y vuelva cerca de P?
Supongamos que vuelve,
y que pasa por un punto Q.
El arco de trayectoria entre P y Q
y el segmento PQ
forman una curva cerrada
que limita una cierta región,
dibujada en azul.
Se ve:
la trayectoria que parte de Q
entra en el dominio azul
y ya no puede salir:
¡está atrapada!
Para salir,
necesitaría atravesar el arco de trayectoria PQ,
pero dos trayectorias
no pueden cruzarse.
¿Por qué?
Pues bien, si dos trayectorias
pasaran por el mismo punto,
esto contradiría
el teorema de Cauchy-Lipschitz, que dice:
¡un punto tiene sólo una trayectoria!
O bien,
la trayectoria que parte de Q
tendría que salir por el segmento QP,
pero, a lo largo de este segmento,
el campo de vectores entra
y no sale.
Se ve entonces
que la trayectoria que parte de P
puede regresar cerca de P,
pero después,
está condenada a no regresar nunca más.
Decimos que no hay recurrencia:
es la idea principal
del teorema de Poincaré-Bendixon.
Este teorema marca el comienzo
de lo que se llama
la teoría cualitativa de los Sistemas Dinámicos.
Aun si solo tenemos un conocimiento imperfecto
de un campo de vectores,
podemos, con frecuencia,
entender el comportamiento de sus trayectorias.
En el caso del plano,
todo funciona bien:
a la larga,
las trayectorias se vuelven periódicas
o se aproximan
a una posición de equilibrio.
Poincaré pronto descubrió
que su teorema sólo vale
para campos de dimensión 2,
es decir, para sistemas pequeños.
A partir de la dimensión 3,
veremos que la situación
puede ser mucho mucho
más rica y... bonita.
Se acaban los dulces ciclos límites.
¡Bienvenido al mundo del caos!