CHAOS 4 - Die Schaukel
Fangen wir einfach an...
Im sechszehnten Jahrhundert
beobachtete Galileo eine schwingende Lampe
und bestimmte die Schwingungsdauer
an Hand seines eigenen Pulses.
Wie beschreibt man ein schwingendes Pendel?
Die Spitze des Pendels
bewegt sich entlang des blauen Kreises.
Platzieren wir diesen Kreis auf einem Zylinder.
So etwa.
Jeder Punkt des Kreises
stellt eine mögliche Position des Pendels dar.
Der rote Punkt repräsentiert
den tiefsten Punkt der Schwingung.
Die Geschwindigkeit des Pendels
- der rote Pfeil -
ist durch eine Zahl gegeben,
deren Vorzeichen durch die Schwungrichtung
gegeben ist.
Man kann diese Zahl
durch die Höhe auf dem Zylinder darstellen.
Damit beschreibt ein Punkt auf dem Zylinder
sowohl die Position als auch die Geschwindigkeit des Pendels.
Die Koordinate in Kreisrichtung
gibt an, wo sich das Pendel befindet;
die Höhe auf dem Zylinder
zeigt die Geschwindigkeit an.
Schauen wir nun,
wie sich die Schwerkraft
auf das Pendel auswirkt.
Nehmen wir zunächst an,
es gäbe gar keine Reibung.
Die Pendelei hört niemals auf!
Bei niedriger Ausgangsposition
und nicht zu großer Startgeschwindigkeit
bewegt sich das Pendel periodisch.
Das wissen wir alle.
Wenn das Pendel schneller,
vielleicht sogar zu schnell, losschwingt,
überschlägt es sich komplett!
Die Bewegung ist weiterhin periodisch,
aber ganz anders geartet.
Betrachten wir die Bahn auf dem Zylinder.
Sie folgt einem Vektorfeld...
Kommen wir nun zu der realistischen Situation,
in der Reibung vorhanden ist.
Die Amplitude nimmt langsam ab,
bis das Pendel letztlich
zum Stillstand kommt.
Man rufe sich Aristoteles' Theorie in Erinnerung:
Das Pendel ist wieder
an seiner natürlichen Ruheposition.
Betrachten wir das entsprechende Vektorfeld
auf dem Zylinder...
Die Bahnen kehren letztendlich
zur Ruheposition zurück.
Dieser Gleichgewichtszustand
wird stabiler Attraktor genannt.
Mit Reibung macht eine Schaukel
nicht so viel Spaß,
da sie irgendwann anhält.
Deshalb müssen wir die Schaukel anstoßen,
damit sie wirklich hoch schwingt.
Diesen Standpunkt vertritt auch
der vom Maler Fragonard
dargestellte Herr: Dessen Interesse
richtet sich anscheinend ganz auf ... die Schaukel!
Man stelle sich vor, dass auf das Pendel
neben Gravitation und Schwerkraft
auch eine anschiebendende Kraft wirkt,
welche über eine kleine Düse übertragen wird.
Ein modernes Pendel
mit Raketenantrieb!
Sagen wir, das Pendel erhält Schub,
aber nur, wenn die Geschwindigkeit
und der Neigungswinkel
unter einem bestimmten Wert liegen.
Wenn das Pendel langsam losschwingt,
erhält es Schub,
woraufhin es immer weiter beschleunigt,
bis die Düse ausgeht,
da es zu schnell schwingt.
Nun wirkt die Reibungskraft
und das Pendel wird allmählich langsamer,
bis die Düse wieder einsetzt usw.
Das Pendel findet sich schließlich
in einem periodischen Schwingungsverlauf wieder.
Poincaré redet hierbei von einem Grenzzyklus.
In gewissem Sinne das Gegenteil von Chaos.
Der periodische Schwingungsverlauf.
Alles ist aufeinander abgestimmt!
Hier sieht man das sogenannte
Phasenbild auf dem Zylinder.
Der Grenzzyklus ist rot eingefärbt.
Wir sehen eine Spiralbahn,
die sich immer mehr
einer periodischen Bahn annhähert.
Hier ist ein einfaches Beispiel,
das dies in der Ökologie zeigt:
das Lotka-Volterra-Modell
aus den 30er Jahren.
Zwei Populationen teilen sich ein Gebiet,
zum Beispiel Hasen und Füchse...
Aber wir sind einmal kreativer
und nehmen Enten und Seerosen.
Man stelle sich vor, dass die Enten die Seerosen fressen.
Wenn es wenige Enten gibt,
fressen diese nur wenige Seerosen.
Daher wächst
die Seerosenpopulation.
Gibt es wenige Enten
und viele Seerosen,
sind die Enten wohlgenährt
und vermehren sich.
Aber viele Enten
fressen viele Seerosen!
So, wie die Zahl der Seerosen abnimmt,
finden die Enten weniger zu fressen
und ihre Anzahl nimmt ab.
Wir sind wieder am Startpunkt angekommen
und können von vorn beginnen!
Wir können die Situation zu einer gegebenen Zeit
durch einen Punkt auf einer Ebene beschreiben:
Die erste Koordinate gibt
die Zahl der Seerosen an,
die zweite die Zahl der Enten.
Tatsächlich erhalten wir
ein Vektorfeld in der Ebene...
Mit der Zeit
folgen die Enten und Seerosen
einer Bahn entlang dieses Feldes
und erreichen einen Grenzzyklus.
Die beiden Populationen
schwingen schließlich periodisch.
Über lange Zeit wurde
die Wissenschaft von dem Gedanken beherrscht,
dass sich jede Bewegung
nach einiger Zeit
stabilisert, indem sie entweder stoppt
oder periodisch wiederkehrende Zustände durchläuft.
Einer der ersten Sätze
in der Theorie der dynamischen Systeme,
der von Poincaré
im frühen 19. Jahrhundert aufgestellt wurde,
scheint dies zu rechtfertigen.
Er handelt von Vektorfeldern in der Ebene.
Man stelle sich ein Vektorfeld wie dieses vor:
Wir kennen das Vektorfeld nicht überall,
aber wir kennen sein Verhalten
in der Nähe dieses Kreises.
Betrachten wir eine Bahn, die in die Scheibe läuft.
Wohin kann sie gehen?
Well, Nun,
der Satz von Poincaré-Bendixson
besagt, dass es zwei mögliche Fälle gibt.
The trajectory Die Bahn
wird entweder sehr nahe
an einen Gleichgewichtszustand kommen -
so wie hier -
genau das haben wir
im Falle des gedämpften Pendels gesehen -
oder sie muss sich einem Grenzzyklus nähern.
Wie kann man einen solchen Satz beweisen?
Die Grundidee ist folgende.
Man nehme einen Punkt auf dem Kreis
und beobachte den Teil der Bahn,
der in die Kreisscheibe hineingeht.
Stopp!
Halten wir am Punkt P an!
Man betrachte die Bahnen
in der Nähe von P.
Ist es möglich, dass die Bahn
in ihrem weiteren Verlauf in die Nähe von P zurückkehrt?
Angenommen, sie kehrt
tatsächlich zu einem Punkt Q zurück.
Die Bahn zwischen P und Q bildet
zusammen mit der Strecke von Q nach P
eine geschlossene Kurve.
Diese ist der Rand
einer gewissen Fläche, hier blau dargestellt.
Man sieht, dass
die Bahn, die in Q startet,
in die blaue Fläche läuft
und dann nicht mehr herauskommen kann!
Sie ist gefangen...
Um herauszukommen
könnte sie die Bahn zwischen P und Q kreuzen,
aber das ist unmöglich.
Warum?
Wenn zwei Bahnen
denselben Punkt durchlaufen,
widerspricht dies
dem Satz von Cauchy-Lipschitz:
Es gibt nur eine einzige Bahn durch jeden Punkt!
Ebenso kann die Bahn von Q aus
nicht durch die Strecke von Q nach P laufen,
da das Vektorfeld dort
in die Fläche zeigt.
Man kann also sehen, dass die Bahn von P aus
sehr wohl in die Nähe
von P zurückkehren kann,
aber dann ist sie dazu verdammt
niemals zu P selbst zurückzukehren...
Man sagt, Rekurrenz sei unmöglich:
Das ist die Hauptidee
des Satzes von Poincaré-Bendixson.
Dieser Satz stellt den Anfang
der sogenannten
qualitativen Theorie der dynamischen Systeme dar.
Selbst für jemanden, der nur
unvollständige Informationen über ein Vektorfeld hat,
ist es oft möglich
das Verhalten der Bahnen zu verstehen.
Im Fall einer Ebene
klappt alles gut:
die Bahnen werden entweder
periodisch oder sie nähern sich
einem Gleichgewichtszustand.
Poincaré fand aber bald darauf heraus,
dass dieser Satzes lediglich
in zwei Dimensionen gültig ist,
also für sehr kleine Systeme...
Wir werden feststellen,
dass die Situation ab Dimension 3 viel,
viel, viel komplexer ist ... und hübsch!
Keine schönen Grenzzyklen mehr -
willkommen in der Welt des Chaos!