ক্যাওস ৪ -- দোলনা
সহজ থেকে শুরু করা যাক ...
ষোড়শ শতাব্দীতে
গ্যালিলেও এক দোদুল্যমান বাতি দেখে,
তার দোলনকাল মেপেছিলেন
নিজের নাড়ির গতির সাপেক্ষে।
দুলতে থাকা পেন্ডুলামকে আমরা কীভাবে বর্ণনা করবো?
পেন্ডুলামের শীর্ষ থাকছে
নীল বৃত্ত বরাবর।
বৃত্তটাকে চোঙের ওপর বসানো যাক্,
এইভাবে!
বৃত্তের ওপর প্রতিটি বিন্দু
পেন্ডুলামের কোনো এক অবস্থানকে বোঝাছে।
যেমন, লাল বিন্দুটা হল
সর্বনিম্ন অবস্থান।
এর গতিবেগ হল
লাল ভেক্টরটা
যেটাকে একটা সংখ্যা দিয়ে বোঝানো যায়,
কোনো এক অভিমুখে একে ধনাত্মক ধরলে
অন্য অভিমুখে তা ঋণাত্মক।
আমরা এই সংখ্যাকে বসাতে পারি
চোঙের উল্লম্ব তলে।
অর্থাৎ চোঙের তলে কোনো বিন্দু
অবস্থান এবং গতিবেগ দুই-ই বোঝাবে।
আনুভূমিক বৃত্তের ওপর প্রথম স্থানাঙ্ক
দোলকের অবস্থান বোঝায়
আর দ্বিতীয়, অর্থাৎ উল্লম্ব স্থানাঙ্ক,
বোঝায় দোলকের গতির দ্রুততা।
সুতরাং এবারে,
ব্যাপারটা মাধ্যাকর্ষণের ওপর ছেড়ে দিয়ে
আসুন আমরা দোলকটাকে দেখি!
আপাতত
ধরে নেওয়া যাক, কোনো ঘর্ষণজনিত বল
আদৌ নেই!
দোলকের দোলগতি কখনো থামবে না।
প্রাথমিক অবস্থান নীচের দিকে হলে
এবং প্রাথমিক গতিবেগ যদি খুব বেশী না হয়,
পেন্ডুলাম দুলবে পর্যাবৃত্ত গতিতে।
এটা সবাই জানে।
যদি প্রাথমিক গতি দ্রুততর হয়,
... খুবই দ্রুততর
এটা বৃত্তাকারে ঘুরতে থাকবে!
এর গতি এখনো পর্যাবৃত্ত,
তবে তার প্রকৃতি একরকম নয়।
চোঙের ওপর ফুটে ওঠা ট্রাজেক্টোরিটা দেখুন।
এটা একটা ‘ভেক্টর ফিল্ড’ বরাবর চলেছে ...
এবার বাস্তব পরিস্থিতিটা দেখুন,
যেখানে আমরা ঘর্ষণ বলকে ধরে নেবো।
দোলনকাল ক্রমশ কমে আসছে,
এবং শেষপর্যন্ত
পেন্ডুলামটা থেমে যেতে চাইছে।
অ্যারিস্টটল্-এর তত্ত্ব মনে করুন :
দোলকটা এবার ফিরে যাচ্ছে
তার স্বাভাবিক নিম্নমুখী অবস্থানে।
সম্পর্কিত ভেক্টর ফিল্ডটা লক্ষ্য করুন।
চোঙের গায়ে ...
ট্রাজেক্টোরি-টা ক্রমশ গুটিয়ে আসছে,
স্থিতিশীল অবস্থানের দিকে।
ভারসাম্যের এই অবস্থানকে
বলে ‘স্টেবল্ অ্যাট্রাক্টর’।
ঘর্ষণবল সহ দোলক-এর
দোলনে কোনো মজা নেই,
কারণ এটা শেষপর্যন্ত থেমে যায়।
সুতরাং দোলকটাকে সময় মতন ঠেলে দিতে হবে
যাতে এটা যথেষ্ট উঁচুতে উঠতে পারে।
ফ্রাগোনাহ্-র আঁকা ছবিতে
এই ভদ্রলোকেরও
মনে হয় একই উদ্দেশ্য ছিল
... দোলনা ঠেলা!
ধরা যাক পেন্ডুলামের ওপর
মাধ্যাকর্ষণ এবং ঘর্ষণ বল ছাড়াও
একটা ধাক্কাজনিত বল ক্রিয়াশীল,
যেটা আসছে একটা ছোট্ট ‘নজল্’ থেকে।
এক আধুনিক পেন্ডুলাম,
যাতে ছোট্ট জেট্ ইঞ্জিন লাগানো!
ইঞ্জিনের ধাক্কাজনিত বল
তখনই প্রযুক্ত হবে, যখন পেন্ডুলামের
গতি অথবা নতিকোণ
কোনো নির্দিষ্ট মানের থেকে কমে যাবে।
যেই পেন্ডুলামটা আস্তে দুলতে শুরু করবে
অমনি ইঞ্জিন চালু হয়ে যাবে,
ত্বরণ ক্রমশ বাড়তে থাকবে;
আবার গতিবেগ যথেষ্ট বেড়ে গেলে,
ইঞ্জিন বন্ধ হয়ে যাবে।
এবার ঘর্ষণ বলের দাপট বাড়বে এবং
গতিবেগ ক্রমশ কমতে থাকবে,
যতক্ষণ না আবার ইঞ্জিন চালু হবে, ইত্যাদি ...
শেষ পর্যন্ত পেন্ডুলামটা একটা
পর্যাবৃত্ত গতির স্থায়ীত্বে পৌঁছবে।
পোঁয়াকাহ্রে ‘লিমিট সাইকেল’-এর কথা বলেছেন,
যা একদিক থেকে ক্যাওসের ঠিক বিপরীত অবস্থা।
পর্যাবৃত্ত যুগ!
সবকিছুই ছন্দবদ্ধ!
এটাকে বলে
চোঙের ‘ফেজ্’ চিত্র।
লিমিট সাইকেলটা লাল রং-এ আঁকা।
একধরনের ঘূর্ণায়মান গতিপথ দেখা যাচ্ছে
যা শেষ পর্যন্ত
পর্যাবৃত্ত ট্রাজেক্টোরি-তে
স্থিতিলাভ করেছে।
এই সরল উদাহরণটা ‘ইকোলজি’-র ক্ষেত্রে
গোটা ব্যাপারটাকে তুলে ধরবে।
এটা হল লোত্‌কা-ভল্‌তেরা মডেল,
যা ঘোষিত হয়েছিল ১৯৩০-এর দশকে ।
দুটো প্রাণীগোষ্ঠী একই অঞ্চলে বাস করে।
যেমন ধরুন খরগোশ আর শেয়াল ...
আসুন আমরা তার বদলে নিই
হাঁস আর শালুক ফুল।
ধরুন, হাঁসেরা শালুক ফুল খায়।
যখন হাঁসের সংখ্যা কম
তখন তারা সবাই মিলে অল্পসংখ্যক
শালুক-ই খাবে। ফলে, শালুকের সংখ্যা
দ্রুত বাড়তে থাকবে।
যখন হাঁসের সংখ্যা কম
এবং শালুক প্রচুর,
হাঁসেরা পেটপুরে খাবে
এবং সংখ্যায় বাড়তে থাকবে।
এভাবে অনেক হাঁস হয়ে গেলে
তারা অনেক শালুক খেয়ে ফেলবে!
তখন শালুকের সংখ্যা ক্রমশ কমবে,
হাঁসেদের খাবারে টান পরবে,
ফলে তাদের সংখ্যাও কমতে থাকবে।
এভাবে পরিস্থিতির বৃত্ত সম্পূর্ণ হবে
এবং তা আবার নতুন করে শুরু হবে।
গোটা ব্যাপারটাকে আমরা এক নির্দষ্ট সময়ে
সমতলে এক নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে দেখাতে পারি :
এখানে প্রথম স্থানাঙ্ক বোঝাচ্ছে
শালুকের সংখ্যা
আর দ্বিতীয়টা হাঁসের সংখ্যা।
বস্তুত এভাবে আমরা
সমতলে একটা ‘ভেক্টর ফিল্ড’ পাচ্ছি ...
সময়ের পরিবর্তনের সাথে
হাঁস আর শালুকের সংখ্যা
এই ফিল্ডের একটা ট্রাজেক্টোরি মেনে চলে এবং
... একটা লিমিট সাইকেলে পৌঁছে যায়।
হাঁস এবং শালুকের সংখ্যা
শেষ পর্যন্ত পর্যাবৃত্তভাবে বদলাতে থাকে।
বহুযুগধরে বিজ্ঞানে ভাবা হত যে,
যেকোনো গতি-ই কিছু সময় পরে,
শেষ পর্যন্ত স্থিতিশীল হবেই;
হয় থেমে গিয়ে
নতুবা পর্যাবৃত্ত দোলনে
স্থিতিলাভ-ই তার ভবিতব্য।
উনিশ শতকের শেষ দিকে
‘ডায়নামিকাল সিষ্টেম’-এর তত্ত্বে
পোঁয়াকাহ্রে-র বলা
এক প্রাথমিক উপপাদ্য থেকে
এমনটাই মনে হয়।
এটা সমতলে ‘ভেক্টর ফিল্ড’ সংক্রান্ত
এক উপপাদ্য।
এইরকম একটা ভেক্টর ফিল্ড কল্পনা করুন :
যেখানে সর্বত্র ভেক্টর ফিল্ডটা কেমন তা আমাদের জানা নেই,
তবে এই বৃত্তের কাছ বরাবর
ফিল্ডটার চরিত্র জানা আছে।
একটা ট্রাজেক্টোরি নিন যেটা
চাকতির ভেতরে ঢুকে পড়ছে।
এটা কোথায় যেতে পারে?
পোঁয়াকাহ্রে-বেন্‌ডিক্সন উপপাদ্য বলছে
দু’ধরনের ঘটনা সম্ভব :
ট্রাজেক্টোরিটা হয়
ভারসাম্যের অবস্থার
খুব কাছে চলে যাবে :
যেমনটা এখানে দেখা যাচ্ছে –
এ’রকমটা আমরা দেখেছিলাম
বাধাপ্রাপ্ত পেন্ডুলামের দোলনে-
অথবা এটা কোনো ‘লিমিট সাইকেল’-এর
দিকে এগোতে থাকবে।
কীভাবে এই উপপাদ্যের প্রমাণ দেবো?
মূল ব্যাপারটা এইরকম।
বৃত্তের ওপর একটা বিন্দু নিন
এবং তার ট্রাজেক্টোরি-টা লক্ষ্য করুন
যেটা বৃত্তের ভেতরে প্রবেশ করছে ...
দাঁড়ান!
P বিন্দুতে এসে থামা যাক!
P-এর আশেপাশের
ট্রাজেক্টোরিগুলোকে লক্ষ্য করুন।
এটা কি সম্ভব যে ট্রাজেক্টোরিটা
ঘুরে ফিরে আবার P বিন্দুর কাছেই ফিরবে?
ধরা যাক, এটা
Q বিন্দুতে ফিরে এল।
P এবং Q বিন্দুর মধ্যে ট্রাজেক্টোরির বক্র এবং
QP রেখাংশ মিলে
এক ‘ক্লোজড্’ বক্র গঠন করেছে।
এটা নীল রং-এ আঁকা
একটা ক্ষেত্রের সীমানা।
লক্ষ্য করুন,
Q থেকে শুরু হওয়া ট্রাজেক্টোরি
নীল অঞ্চলে প্রবেশ করেছে
আর কিছুতেই তার বাইরে বেরোতে পারছে না!
ঠিক যেন ফাঁদে পড়ে গেছে ...
বেরোতে হলে
PQ চাপকে ছেদ করতেই হবে।
কিন্তু দুটো ট্রাজেক্টোরি কখনোই
পরস্পরকে ছেদ করতে পারে না।
কেন?
কারণ, যদি দুটো ট্রাজেক্টোরি
একই বিন্দুগামী হয়
তাহলে তা
কোশি-লিপ্‌সিৎজ্ উপপাদ্যের বিরুদ্ধে যাবে :
প্রদত্ত কোনো বিন্দুতে একটাই ট্রাজেক্টোরি থাকতে পারে!
Q থেকে শুরু হওয়া ট্রাজেক্টোরি
QP রেখাংশকেও ভেদ করে বেরোতে পারেনা,
কারণ ওখানে ভেক্টর ফিল্ডটা ভেতরে ঢুকছে,
বাইরে বেরোচ্ছে না।
P থেকে শুরু হওয়া ট্রাজেক্টোরি
ফিরে আসতেই পারে
P-এর খুব কাছাকাছি
তবে কখনোই অবিকল
P-তে নয় ...
বলা হয় যে, এখানে পুনরাবৃত্তি চলবে না :
পোঁয়াকাহ্রে-বেন্‌ডিক্সন উপপাদ্যের
এটাই মূল কথা।
‘ডায়নামিকাল সিষ্টেম’ সংক্রান্ত
গুণবাচক তত্ত্বের
এটাই গোড়ার উপপাদ্য।
কোনো ভেক্টর ফিল্ড সম্বন্ধে
যদি আমাদের ধারণা অসম্পূর্ণও হয়,
তাহলেও তার ট্রাজেক্টোরি সম্বন্ধে
আমরা ধারণা করতে পারি।
সমতলের বেলায়
ব্যাপারটা বেশ ভালোই :
ট্রাজেক্টোরিগুলো
সময়ের সাথে হয় পর্যাবৃত্ত হয়ে পড়ে,
অথবা কোনো ভারসাম্যসূচক অবস্থানে পৌঁছে যায়।
তবে পোঁয়াকাহ্রে কিছুদিনের মধ্যেই
আবিষ্কার করেন যে তাঁর উপপাদ্য
শুধু দ্বিমাত্রিক ফিল্ডেই সত্যি,
অর্থাৎ খুবই ছোটো সিস্টেমে সত্যি ...
ত্রিমাত্রিক অথবা তার থেকেও বেশী মাত্রায়
আমরা দেখবো যে, পরিস্থিতিটা অনেক
অনেক, অনেক বেশী জটিল ... এবং মনোমুগ্ধকর!
আর কোনো চমৎকার লিমিট সাইকেল নয়,
ক্যাওসের দুনিয়ায় আপনাকে স্বাগত!