الفوضى 4- الأرجوحة
الأشياء البسيطة أولا.
ﭬﺎليليو، في القرن السادس عشر،
لاحظ مصباحا يتأرجح
وقام بقياس دور التأرجح
بأخذ نبضه الخاص.
كيف نصف نواسا يتأرجح؟
يتحرك طرف النواس على الدائرة
المرسومة بالأزرق.
لنضع هذه الدائرة على اسطوانة
هكذا.
كل نقطة من الدائرة
تمثل موضعا للنواس.
النقطة الحمراء على سبيل المثال،
تشير إلى الموضع السفلي.
سرعة النواس،
الشعاع الأحمر،
تُمثل فقط بعدد،
موجب إذا كان يدور في اتجاه،
وسالب إذا كان يدور في الاتجاه الآخر.
يمكن أن نمثل هذا العدد
في الاتجاه العمودي للاسطوانة.
إذن نقطة من الاسطوانة
تسمح بتمثيل الموضع والسرعة في آن واحد.
الإحداثي الأول، على القاعدة،
يدلنا أين الأرجوحة
والثاني، العمودي،
يدلنا على سرعة التأرجح.
والآن،
نترك الجاذبية تقوم بعملها
ولنلاحظ التأرجح.
انتباه!
نفرض أولا
عدم وجود أي احتكاك.
يستمر التأرجح إلى الأبد ...
إذا كان الموضع الأولي منخفضا
وكانت السرعة الابتدائية غير كبيرة
فسيكون التأرجح دوريا.
نعرف كل ذلك.
إذا أطلقنا النواس بسرعة
ربما بسرعة أكبر،
فسيقوم بدورة كاملة.
الحركة هنا أيضا دورية
لكن ليست بنفس الطريقة.
شاهدوا المسار على الأسطوانة.
إنه يتبع حقل أشعة.
لنر الآن الحالة الأكثر واقعية
حيث نفرض وجود احتكاك.
يتباطأ الاهتزاز رويدا رويدا
وفي الأخير
تجنح الأرجوحة للسكون.
تتذكرون نظرية أرسطو:
عادت الأرجوحة
إلى وضعها الطبيعي، في الأسفل!
شاهدوا حقل الأشعة
المتعلق بذلك على الأسطوانة.
تؤول المسارات إلى السقوط في الأسفل
في موضع السكون.
يسمى موضع التوازن هذا
جاذبا مستقرا.
أرجوحة مع وجود احتكاك
ليست في النهاية شيئا غريبا؛
بعد زمن ما ستتوقف!
شيء مسلّ عندما ندفع الأرجوحة
لكي تذهب فعلا إلى الأعلى.
بالمناسبة، هذه هي وجهة نظر السيد المحترم
الذي يمثله فراﭬﻮنارد.
والذي يبدو مهتما ...
بالأرجوحة!
بشكل أبسط،
سنتخيل أن النواس،
فضلا عن تأثير الجاذبية والاحتكاك،
يخضع لقوة دفع
عبر أنبوب صغير.
نواس حديث
مزود بمحرك نفاث صغير!
على سبيل المثال، لنعط النواس دفعة،
لكن فقط إذا كانت السرعة
وزاوية الميل
لا تتعديان قيمة معينة.
إذا انطلقت الأرجوحة ببطء،
ستُدفع،
وها هي تتسارع ثم تتسارع،
إلى أن نتوقف عن دفعها،
كونها تتحرك بسرعة زائدة.
وإذذاك تقوم الاحتكاكات بعملها.
وها هي الآن تتمهل ثم تتمهل
إلى أن تأتي دفعة
أخرى لنجدتها. وهكذا.
في الأخير،
تستقر الأرجوحة
على نظام دوري.
يتحدث ﭘﻮانكاري عن دورة نهاية.
وهي تقريبا عكس الفوضى.
النظام الدوري ...
الكل على إيقاع واحد!
شاهدوا ما يسمى
"مخطط الأطوار" على الاسطوانة.
بالأحمر ... دورة النهاية.
ها نحن نرى مسارا حلزونيا.
بعد قليل
لن نميزه مطلقا
عن المسار الدوري.
إليكم مثالا بسيطا
يوضح ذلك في عالم البيئة:
أنموذج لوتكا- فولترّا
العائد لسنوات 1930.
تتعايش مجموعتان في بقعة ما.
يتعلق الأمر عادة بأرانب وثعالب.
سنستعمل خيالنا ونأخذ مجموعة
من البط ومجموعة من الزنبق المائي.
لنتصور أن البط تأكل الزنبق.
عندما يكون عدد البط قليلا،
فسيؤكل قليل من الزنبق.
وبالتالي فعدد الزنابق سيزداد
بسرعة كبيرة.
عندما تكون الزنابق بأعداد كبيرة
والبط بأعداد قليلة،
فستنعم هذه الأخيرة برغد العيش
ويزداد عددها.
لكن في حال وجود كثير من البط
فإن الزنابق ستؤكل.
إذا صار عدد الزنابق صغيرا جدا
فلن يجد البط ما يأكل
وسيقل عدده.
تكون الحلقة بذلك قد أغلقت
ونبدأ من جديد!
نمثل هذا الوضع في لحظة ما
بنقطة في المستوي:
يشير الإحداثي الأول
إلى عدد الزنابق
والثاني إلى عدد البط.
في الواقع،
نحصل على حقل أشعة في المستوي.
بمرور الزمن،
يتبع البط والزنبق
مسارا لهذا الحقل
ونحصل على دورة نهاية.
مجموعتا البط والزنبق
تجنحان إلى التذبذب
بطريقة دورية.
الاعتقاد بأن الحركات،
ربما بعد دور انتقالي
قصير،
ستركن إلى الاستقرار
سواء إلى السكون
أو إلى تذبذب دوري،
ساد في العلم زمنا طويلا.
إحدى المبرهنات الأولى
في نظرية الأنظمة الديناميكية
من قبل ﭘﻮانكاري،
في أواخر القرن التاسع عشر،
تبدو أنها بررت ذلك.
يتعلق الأمر بحقول أشعة
في المستوي.
تصوروا حقل أشعة كهذا.
في الواقع لا نعرف حقل الأشعة هذا أينما كان.
نعرف فقط
كيف يتصرف قريبا من هذه الدائرة.
خذوا مسارا
يدخل القرص.
إلى أين يستطيع أن يذهب؟
حسنا،
تفيد مبرهنة ﭘﻮانكاري - بنديكسُن
أن هناك حالتين ممكنتين.
إما أن
المسار يقترب
كثيرا من موضع توازن،
مثلما نرى هنا؛
وهذا ما سبق أن شاهدناه
في النواس المتخامد.
وإما
عليه أن يقترب من دورة نهاية.
كيف يمكن إثبات
مثل هذه المبرهنة؟
هاهي الفكرة الرئيسة.
خذوا نقطة على الدائرة
ولاحظوا مسارها
الذي يتسلل إلى الداخل.
قف!
.P لنتوقف في نقطة
شاهدوا المسارات
.Pفي جوار
هل من الممكن أن المسار
سيواصل طريقه
ويعود من جديد إلى هذا الجوار؟
لنفرض أنه يعود بالفعل
.Qإلى نقطة
Qو P لنشاهد قوس المسار بين
.QPمتبوعا بالقطعة
يشكل ذلك منحنيا مغلقا
هو حافة ميدان
ملون بالأزرق.
نستطيع أن نرى
،Qأن المسار المنطلق من
يدخل المنطقة الزرقاء
ولن يستطيع الخروج منها أبدا.
لقد وقع في شرك.
لكي يتمكن من الخروج
.PQعليه أن يعبُر القوس
لكنّ مسارين
لا يمكن أن يلتقيا.
لماذا؟
حسنا، إذا مر
مساران من نفس النقطة،
فسينقض ذلك
مبرهنة كوشي - ﻟﭙشيتز:
لكل نقطة مسار وحيد.
أو أن
،Qعلى المسار المنطلق من
،QPالخروج عبر القطعة
،QPلكن، على طول
حقل الأشعة يدخل
ولا يخرج.
أنتم ترون إذن
P أن المسار الذي ينطلق من
P يمكن أن يمر من جديد بالقرب من
لكن بعد ذلك
فهو محكوم عليه ألا يعود هناك أبدا.
نقول إنه لا يوجد تراجع:
هذه هي الفكرة الرئيسة
لمبرهنة ﭘﻮانكاري - بنديكسُن.
تسجل هذه المبرهنة بداية
ما يدعى
النظرية النوعية للأنظمة الديناميكية.
حتى ولو لم نكُ نملك سوى معرفة غير كاملة
بحقل أشعة ما،
فإن من الممكن فهم
سلوك المسارات.
في حالة المستوي،
كل شيء يسير على ما يرام.
تضحى المسارات دورية
على المدى البعيد،
أو تقترب
من موضع توازن.
لكنّ ﭘﻮانكاري لم يتأخر في اكتشاف
اقتصار صحة مبرهنته
على الحقول في البعد 2،
أي على النظم الصغيرة جدا.
ابتداء من البعد 3،
سنرى أن الوضع
يمكن أن يكون ثريا
جدا جدا جدا... وجميلا أيضا.
انتهت دورات النهاية الظريفة،
مرحبا بكم في عالم الفوضى!