混沌 3- 牛頓的蘋果
牛頓在十七歲的時候曾質疑
為什麼蘋果從樹上掉落
而月亮卻能高掛在空中
直到當時，人們認為
地球上的物體，例如蘋果
和天上的星體
有著不同的運動定律
牛頓比較月球和蘋果的運動
並大膽推想
或許存在某些
統管地上與天上物體的萬有物理定律
是項革命性的突破
在那之前，物理學是被
亞里斯多德的哲學支配著
認為所有物體都有自己所應在的位置
如果我們將它從那裡移開
那麼它會盡其所能回到原位
所有周遭的事物
都在尋找它們最自然的平衡點
蘋果之所以會往地上掉
是因為它的本性
月球會繞著地球公轉
也是因為它的本性
了解物體的墜落
不是一件簡單的事
順道一提
某些卡通人物的行為
常與真實物理相悖
卡通世界裡的第一物理定律
是這麼說的：
「所有懸在空中的物體
將持續懸掛著
直到它意識到自己的狀態為止」
某位迪士尼卡通的動畫師曾說過
「卡通電影遵守物理定律
除非反之更加幽默」
牛頓推想出
萬有引力定律
「兩個物體相互吸引
引力的大小
和兩物體各自的質量成正比
也和兩物體間距離的平方成反比」
引力從何而來？
要如何解釋？
如何理解相距好幾十億公里遠的物體
能夠同時相互吸引？
這項奧祕
要等到許久以後
才被愛因斯坦
解開其中一部分
所有物體
比如一顆蘋果
或是月球
都受到地球引力吸引
這種力稱為重力
適用於所有周遭的物體
牛頓有另一個偉大的想法：
力會改變物體的速度
當物體的速度改變
我們稱之為加速度運動
現在想像一顆抽象的蘋果
並假設除了重力以外
它不受其他外力
在蘋果樹附近
重力大概是個常向量
蘋果脫離樹枝的瞬間
沒有任何速度
但之後重力作用在蘋果上
並改變它的速度
下墜的蘋果越掉越快
直到撞擊地面
牛頓並不止步於此
他還告訴我們
如何從物體的受力
算出它的軌跡
一顆球在地板上滾動
會發生什麼事情？
什麼也不會！
它會繼續用相同的速度
向前滾動
這種寫在物理書中的斷言
當然是對的...
只不過這跟我們實際上看到的
不太一樣
球滾到最後還是會停下來
因為摩擦力會使其減速
現在我們忽略摩擦力的存在
當球與地板接觸
地板對球施加
與重力方向相反的反作用力
這樣的力，阻止球穿過地板
以致於作用在球上的合力為零
如果沒有外力
速度就不會改變
物體維持等速度運動
這正是我們之前看到的
不過如果地板突然消失
原本用來平衡重力的反作用力也會消失
球受到重力作用之後
就會開始改變速度
牛頓給出物理學上
最重要的公式之一，F=ma
並用它來解釋一切
F，代表力
m，是物體的質量
而a，代表著加速度
加速度，是速度變化的速度
換言之，是速度的微分
在這裡
重力是個往下指的常向量
所以加速度也是個往下指的常向量
因此速度
每秒所增加的
也會是個常向量
看看它的軌跡：是一條拋物線
如果我們知道系統受到哪些外力
我們就能知道加速度
如果我們還知道初始位置
以及初始速度
我們就能預測
物體未來的運動
如果我們選準了
某些特殊的初始條件
甚至能得到某些難以置信的運動軌跡
注意到一個初始條件
不只包含初始位置
還包括初始速度
看這個特殊的例子
三顆行星，沒有太陽
沿著三條封閉軌線運行
呈週期性運動
這個例子更有趣些
三顆行星
沿著相同的軌線運行
這一次三顆行星
又沿著相同的軌道繞行
這次軌道呈8字型
跳著曼妙的行星華爾茲
不過請注意！
能夠跳出這種舞步
是一項絕技
就像撞球高手，必須瞄準好
才能達到如此特殊的狀態
只要我們稍微改變一點初始條件
啪嚓！
美麗的舞蹈即刻變成一片混沌
話說回來
為什麼月亮受到地球吸引
卻不像蘋果那樣
直墜入地？
牛頓的回答令人瞠目結舌：
月亮的確在往下掉！
如果我們注意觀察
地球四周，會發現
重力並不是處處相等的
它的確總是指向地心
但它越遠離地球
就會變得越弱
重力作用在月球上
將其吸向地球
並使其軌線彎曲
但當重力加上
月球的公轉
它將永遠往下掉
並且永遠無法墜落至地表
假如月亮不受到
任何外力作用
它將把地球視為陌生人
繼續做直線運動
現在取一個假想的月亮
把它抓到384,000公里的高空
然後放手
它掉下來了 !
再試一次
釋放同一個月亮
但加上一點橫向初始速度
軌線雖然有些彎曲
卻仍未能避免墜毀的災難
再加大一點橫向初始速度
這回月球剛好掠過地球表面
並繞著它做週期運動
再加大一點初始速度
假想月球做圓週運動
跟真實的情況
相去不遠
如果初始速度太大
永别了，月亮！
你不難想像
若要研究太陽系
包括它的八大行星
以及成千上萬個小星體
彼此相互作用著
為了能給出一道初始條件
我們需要給出許多初始位置
和許多初始速度
那麼要給出多少條件
才能描述大氣的運動
以及其中無數個分子的動態呢？
研究一個取決於大量變數
向量場的所有軌線
這正是偉人牛頓
對我們下的挑戰書