ХАОС Глава 3 — Яблоко Ньютона
В семнадцать лет Ньютон задался вопросом,
почему яблоко падает с яблони,
но Луна не падает на Землю?
В то время люди считали, что предметы на Земле
подчиняются не тем же законам, что небесные тела.
Сравнение движения Луны и яблока
в предположении, что некие универсальные физические законы
работают как на Земле, так и в небесах, было истинным переворотом.
В физике доминировала точка зрения Аристотеля.
Каждый объект имеет своё собственное место
и если мы его оттуда уберём,
он будет пытаться туда вернуться.
Всё вокруг нас стремится к своему естественному равновесию.
Яблоко пытается упасть вниз, потому что это в его природе.
Луна вращается вокруг Земли, потому что такова её природа.
Понять природу падения объектов не так просто.
И, кстати, герои мультфильмов испытывают некоторые затруднения с реальной физикой.
Первый закон мультипликационной физики гласит:
«Любой объект, оставленный в пространстве, остаётся неподвижным
до тех пор, пока не поймёт, что происходит».
Как говорил Уолт Дисней:
«Мультфильмы следуют законам физики,
пока обратное не оказывается смешнее».
Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения:
«два тела притягиваются с силой, пропорциональной их массам
и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними».
Откуда берётся эта сила притяжения?
Как она может быть объяснена?
Как два тела, разделённые миллиардами километров,
могут притягивать друг друга?
Это оставалось загадкой ещё долго,
пока, наконец, объяснение — по крайней мере, частичное —
не было найдено Эйнштейном.
Все тела,
от яблока
до Луны
притягиваются к Земле.
Сила тяжести действует на всё вокруг нас.
Другая великая догадка Ньютона состояла в том,
что силы меняют скорость движения.
Когда скорость увеличивается,
мы говорим, что объект ускоряется.
Представим себе абстрактное яблоко,
на которое не действуют никакие силы, кроме силы тяжести.
Около яблони сила тяжести почти постоянна.
Когда яблоко начинает падать,
его скорость равна нулю.
Но сила тяжести ускоряет его.
Яблоко падает всё быстрее и быстрее и ударяется о землю.
Ньютон пошёл дальше.
Он описал, как найти траекторию, зная силы.
Шарик катится по плоскости.
Что с ним будет происходить?
Ничего!
Он будет продолжать катиться с постоянной скоростью.
Это утверждение, которое можно найти в учебниках физики,
конечно, верно…
…но только не соответствует тому, что мы видим в реальной жизни.
Бильярдный шарик когда-нибудь остановится,
так как сила трения будет его замедлять.
Пренебрежём этой силой.
Когда шарик соприкасается с поверхностью,
поверхность действует на него с силой,
противоположной силе тяжести,
что не дает шарику провалиться сквозь поверхность.
Таким образом, суммарная действующая на шарик сила равна нулю.
Если нет силы, то нет изменения скорости,
и шарик продолжает катиться с постоянной скоростью,
как мы видели раньше.
Но если земля расступится,
на шарик будет действовать сила тяжести — его вес,
которая теперь изменяет его скорость, потому что уже нет земли,
сила со стороны которой уравновешивала его вес.
Ньютон выразил это одной из самых важных формул физики:
F = m·a
F — это сила,
m — масса тела
и a — ускорение.
Ускорение — это скорость изменения скорости,
иными словами, производная скорости.
В нашей ситуации сила тяжести постоянна и направлена вниз,
значит, и ускорение постоянно и направлено вниз.
Вектор скорости каждую секунду увеличивается на постоянный вектор.
Посмотрим на траекторию. Это — парабола.
Если мы знаем силы, действующие на систему,
значит, мы знаем ускорения.
Если мы также знаем начальное положение и начальную скорость,
то мы можем предсказать дальнейшее движение.
Если очень хорошо прицелиться
и выбрать правильные начальные условия,
можно получить невероятную динамику!
Начальные условия — это не только начальное положение,
но и начальная скорость.
Посмотрите сюда.
Три планеты в отсутствии солнца
двигаются по трём замкнутым траекториям.
Движение периодично.
Здесь ещё интереснее.
Три планеты двигаются по одной траектории.
А здесь три планеты движутся по одной траектории в форме восьмёрки.
Балет планет...
Надо сказать, что такой балет требует огромной точности, как в бильярде,
нужно очень точно целиться, чтобы получить такой результат.
Если мы чуть-чуть поменяем начальные данные…
Бум!
Вся изящная хореография обратится в хаос.
Кстати, почему же Луна не падает на Землю,
если она притягивается Землей, как и яблоко?
Ответ Ньютона поразителен:
она падает!
Как мы видим, в окрестности Земли сила тяжести непостоянна.
Она всегда направлена прямо к центру Земли,
и уменьшается по мере того как мы отдаляемся от него.
Земля притягивает Луну силой гравитации,
что влияет на её траекторию.
Но, так как это совмещено с вращением,
Луна все время падает, но никогда не достигнет Земли.
Если бы Луна не была подвержена действию никакой силы,
она бы двигалась по прямой линии, притворяясь, что с Землей не знакома.
Возьмем воображаемую Луну
в 384 000 километрах над Землей
и отпустим её.
Она упадёт!
Вторая попытка:
Возьмем такую же Луну
и запустим её с небольшой горизонтальной скоростью.
Траектория слегка изменилась, но избежать катастрофы не удалось.
Запущенная с большей начальной скоростью, Луна пролетает мимо Земли на бреющем полёте
и продолжает вращаться вокруг неё периодически.
Ещё увеличим начальную скорость —
и Луна вращается по круговой орбите;
примерно так и происходит в действительности.
Слишком большая начальная скорость
и… прощай, Луна!
Так что, как вы понимаете, чтобы изучать Солнечную систему
с её восемью основными планетами и тысячами меньших тел,
каждое из которых взаимодействует со всеми остальными,
чтобы задать начальные условия,
нужно задать много положений и много скоростей.
Только представьте себе, сколько информации нужно, чтобы описать движение атмосферы,
состоящей из бесчисленного количества частиц.
Изучение траекторий векторных полей,
зависящих от большого количества переменных,
вот — настоящий вызов, брошенный нам великим Ньютоном!