カオス３ ニュートンのリンゴ
17才のときニュートンは考えた．
リンゴはリンゴの木から落ちるが，
月は地球上に落ちてこないのは，
なぜだろうか．
その時代までは，
リンゴのような地上の物体は，
天体と同じ法則に従うわけではないと
考えられていた．
月とリンゴの運動を
比較して，
地上でも天空でも成立する，
普遍的な
物理法則の存在を考えたのは，
本当に革命的なことだった．
それまでの物理学は，アリストテレスの
考え方に支配されていた．
すべての物体は，本来の場所を持っており，
そこから離れると，
元の場所に戻ろうとする．
我々の周りのすべてのものは
自然な平衡状態を保とうとする．
リンゴが落ちるのは，
リンゴ本来の性質である．
月が地球の周りを回るのは，
月本来の性質である．
物体の落下を理解するのは
容易ではない．
ところで，アニメ漫画の
主人公たちの動きは，
物理的には少し問題がある．
アニメ漫画の
物理の第１法則は
これだ：
「宙に浮いた物体は，
そのことに気付くまで，
静止している．」
ウォルト・ディズニーのアニメ作家は言う：
「アニメ漫画は，物理法則に従うが，
もっと面白いことになるなら
従わなくて良い．」
ニュートンは
万有引力の法則に思い至った：
「２つの物体は，
それぞれの質量に比例し，
物体間の距離の２乗に
反比例する力で，
引き合う．」
どこからこの引力は生まれてくるのだろうか？
どんな説明が可能だろうか？
何十億キロも離れた物体は
どうやって瞬間に
引き合うのだろうか？
このミステリーを
部分的にでも説明したのは，
ずっと後のアインシュタインだった．
すべてのものは，
リンゴも，
月も，
地球に引っ張られている：
重力は，重さとして，
我々の周りのすべてのものに働く．
ニュートンのもう１つのすばらしい考え方は，
力が速度を変化させることだ．
速度が変化した時に，
物体は加速されていると言う．
重力以外の力を受けていない
リンゴを，抽象的に
考えてみよう．
リンゴの木の周りでは，
重力はほぼ一定だ．
リンゴが木から離れたとき，
速度はゼロだ．
しかし，重力が働いて
速度が変化する．
リンゴの速度は段々速くなり，
地面にぶつかる．
ニュートンはもっと議論を進めた．
彼は，
力がわかっているときに，
軌道を計算する方法を与えた．
平面上を玉が転がっている．
この玉に何が起こるだろうか？
何も起こらない！
玉は同じ速度で
転がり続ける．
物理の本にも
書かれているように，
このことはもちろん正しい…
ただ，我々の普段の感覚には
合っていない．
ビリヤードの玉は，そのうち止まってしまう．
摩擦力で段々遅くなるからだ．
しかし，この力を無視しよう．
玉が地面にふれていると，
地面からの反作用で，
重力とは反対向きの力が働くので，
玉が地面に
入っていくことはない．
このとき，玉に加わる力の和はゼロである．
もしも，力が働いていなければ，
速度は変化しない，
つまり同じ速度のままである．
我々はそう考えた．
もしも，地面がなくなったら，
玉はその重さによる
重力の力を受け，
速度を変えていく．
重さを受け止める地面が
なくなっているからだ．
ニュートンは，これらすべてを，
物理学における
最も重要な方程式の１つに表した：
Ｆ＝ｍａ
Ｆは力であり，
ｍは物体の質量であり，
ａは加速度である．
加速度は，
速度の変化の速さである．
つまり，速度の微分である．
この場合，
重力は一定で，
下向きである．
従って，加速度は一定で
下向きである．
従って，速度ベクトルは，
毎秒，同じベクトルだけ
増加する．
軌道を観察しよう：これは放物線だ．
もしも，１つのシステムにおける
すべての力を知っていたら，
加速度がわかることになる．
もしも，最初の位置と
速度も知っていたら，
運動の未来を
すべて予測できる．
良くねらいをつけて，
初期条件をうまく選べば，
信じがたい運動が実現される．
初期条件は，
最初の位置だけではなく
最初の速度をも含んでいる．
見てごらん．
太陽はないが，３つの惑星が，
それぞれ閉軌道を描いている．
運動は周期的である．
今度はもっと面白い．
３つの惑星が，
同じ軌道を描いている．
そして今度は，３つの惑星は，
８の字の形の
同じ軌道を描いている．
これは，惑星のダンスの振付だ．
注意しておくが，
このような惑星のダンスの振付は，
神技のようなものだ：
ビリヤードと同じで，成功させるためには，
良くねらいをつけなければいけない．
初期条件を少しでも変えると，
おやおや…
美しいダンスの振付は，全くのカオスになってしまうのだ．
ところで，
リンゴと同じように地球に引っ張られているのに，
なぜ月は地面に
落ちてこないのだろうか？
ニュートンの答は驚くべきものだ：
月も落ちている！
地球の近くを
見てみると，
重力は一定ではない．
重力は常に地球の中心に向かっており，
地球から離れれば離れるほど
弱くなっている．
月は地球に，
重力で引っ張られ，
その軌道を曲げられている．
しかし，この動きは
回転と合わさっているので，
月は常に落ち続けているが，
地球に達することはない．
もしも月に
何も力が加わっていなければ，
月は，地球と何のかかわりもなく，
直線上を動いていくだろう．
地球の384000キロ上空に
仮想の月を持っていき，
手を放してみよう．
落ちてしまった！
やり直しだ：
同じ月を水平方向に
少し速度を持たせて放してみよう．
軌道は少しそれていくが，
まだ破局へ向かっていく．
もっと大きな速度で放すと，
月は地球をかすめて，
地球の周りを周期的に回るようになる．
さらに大きな速度で放すと，
月は円軌道を描いて回る．
これが大体，
現実に起きていることだ．
速度が大き過ぎると？
月よ，さようならだ！
太陽系を考えよう．
太陽系には，８個の惑星と
何千もの小天体があり，
互いに作用し合っている．
太陽系の初期条件を定めるためには，
非常に多くの位置と速度を
決めなければならないことが
わかるだろう．
さらに，大気の運動や
その無数の分子の運動を記述するための
データの大きさが想像できるだろう．
非常に多くの変数に依存する
ベクトル場の軌道の研究，
これが偉大なニュートンの
我々への挑戦状だ．