混沌 2- 乐高人仔的赛跑
1676年，十月26日
牛顿写了一封信
给他的竞争对手莱布尼兹
他想在信里提及他最大的发现
但在同时
他也想保守这个祕密
因此他写下一串字谜：
「6a, 2c, d, ae, 13e, 2f, 7i, 3l, 9n, 4o, 4q, 2r, 4s, 8t, 12v, x」
莱布尼兹没有解出这串字谜
但之后的历史学家
最终还是辨读出
藏在重组字串里的拉丁文句子
「Data aequatione quotcunque
fluentes quantitates involvente,
fluxiones invenire et vice versa.」
意思是：
给定一道
由几个变数构成的方程式
试求它的导函数，以及它的反导函数
这就是微积分：
一颗用来预测未来的
无比灵验的水晶球。
利用它能算出一个系统的
未来的动态，
前提是已确知系统的现状，
以及施加于系统的力。
这样的计算，我们称做解微分方程
也就是给出微分方程的解
让我们用乐高玩具来解释一切。
毕竟数学世界
有时就像一场遊戏
所有事物都比现实简单
正如孩子们的世界一样。
这些脚印
代表运动员前进的路径
也就是他们的轨迹
假设这些乐高人仔的步频都是规律的
但有的步伐大
有的步伐小
人仔走得越快
脚印间距也会越大
反之走得越慢，间距越小
连接两步间的箭头
代表速度：
从某种意义上
它代表微小的瞬间前后的
位置差距。
这就是「微分」的意思
这是百米赛跑
谁将夺冠？
9秒58，恭喜！
说实在的，物体的运动
通常并不是一步步的间断式向前。
比如这些行驶中的赛车
车轮是连续不断地向前滚动。
该如何定义它们的速度？
你可以说
事实上这部影片
每秒闪过25个画面。
所以可看成这辆摩托车
每秒走了25「步」！
因此可以谈论它的速度
正如刚才乐高人仔的速度。
牛顿将所有连续运动
都视为间断运动的极限
这些间隔越变越小
就像看电影一样
小到我们无法察觉
计算物体的移动速度
就是所谓的微分
正是微分计算的目的
这是一些运动的例子
这些箭头代表它们的速度
数学家称这些箭头为向量
现在，让我们想像一下相反的问题
我们看到地上
画满了箭头
我们称之为向量场
可以想像这是块麦田...
不过田上不是麦穗，
而是向量
现在这些乐高人仔的任务是
沿着向量场所指定的速度移动
你们会说：这很简单！
当他们往脚底下看
会看到一个向量
指定他们移动的速度
他们照着所指方向和速度
向前移动
一瞬间过后
他们会来到新的点
沿着新的方向
与新的速度出发
接着重复同样的过程
如此走路一点也不难
只要双脚交替向前。
其实，我们还得解释
「一瞬间过后」到底是什么意思
牛顿大概会回答
「无穷短的时间间隔后！」
我们刚刚已经看到
连续运动和间歇运动
是两种不一样的运动
连续运动
是间歇运动脚程逐渐缩短的极限
与其观察走动的乐高
我们来看连续移动的车子
这回车子将画出
一条称为轨迹的曲线
这是条处处与向量场相切的曲线
现在平面上有个向量场
以及两个点
视为两台摩托车的初始位置
柯西－利普希茨定理
概括了决定论的理念：
它断言这些条件
完全决定未来的轨迹。
平面上的每一个点，
都发出唯一一条轨线。
每一点都有指定的命运
而且点点不同...
乐高人仔终将听天由命！
他们只能沿着自己的轨线移动
因此两条不同轨线
永远无法相交
从给定的向量场
到推算出轨线的过程
正是积分运算的工作
积分运算也因此被视为
微分运算的逆运算。
这里有一群
乐高玩具兵，
正在列队待发。
出发之后
我们看到
队阵不再严整。
有时我们会说
我们在求向量场的「流」
好比这群人漂浮在河流中
随着河水流动
每个人都漂向各自的方向。
想象一下全人类所构成的流
70亿个乐高人仔在地球上移动
或者想象成亿上兆个大气分子
在地球上空流动。
这里有个非常简单
可以说简单到极致的例子，
将让我们看到决定论的弱点之一...
看看这个向量场
士兵出发以后，
位于中线左边的人仔
将朝左移动
而位于中线右边的人
将朝右移动。
某种意义上，决定论还是有效的：
每个人都毫无选择地追随自己的命运
不过另一方面
即便是两个非常靠近的乐高人
也会有截然不同的命运
极其微小的一件事，
就可以完全改变未来。
在一本出版于1876年
名为「物质与运动」的书里
物理学家马克士威强调
物理现象对于初始条件的敏感性
以下是他所写的：
「有句格言说道...
相同的原因总会导致相同的结果[...]
另有一句不可混为一谈的格言
断言「相近的原因导致相近的后果」
这句格言成真的前提是
我们已知
初始状况的微小变化
仅能导致终极状态的微小变化。
对于许多物理现象
这个条件确能成立。
不过有些时候，即便是初始的微小变化
也能导致系统的末了状态的巨变。
举例来说
只要稍微改变车速
就能造成意外
这种未来对于初始条件的依赖性
仅仅是混沌的一个面相！
还有更多更加复杂的情况...
例如想像一个向量场
这次我们不再画在平面上
而是在空间中
就像这个例子
向量场被显示在层层后退的垂直面上
现在这些乐高不再步行
而是驾驶太空飞船
每一个瞬间
太空船的速度由向量场决定
看看这些可怜的乐高会发生什么事
这比刚刚还要混乱！
如果有哪个乐高人想成为先知
面对这样的云霄飞车，这是不可能的
他的任何预言只会是场骗局。
一个小时后，他会在哪里？
永远没有人知道！
如果预测乐高的未来已经很困难
那么请试想，人类的未来又如何可知呢？