KAOS - 2. del Dirka možičkov iz kock
26. oktobra 1676 je Isaac Newton
pisal velikemu tekmecu Leibnizu.
Želel je govoriti o velikem odkritju,
a ga hkrati ohraniti kot svojo skrivnost,
zato mu je poslal uganko:
6a, 2c, d, ae, 13e, 2f, 7i, 3l, 9n, 4o, 4q, 2r, 4s, 8t, 12v, x.
Leibniz tega sporočila ni razvozlal.
Zgodovinarji pa so kasneje razkrili skrito latinsko frazo:
»Data aequatione quotcunque fluentes quantitates involvente,
fluxiones invenire et vice versa.«
V slovenskem jeziku:
Pri dani enačbi v poljubnem številu spremenljivk
poišči njene odvode in obratno.
To je diferencialni račun,
učinkovita kristalna krogla za napovedovanje prihodnosti.
Dovoli vam izračunati gibanje sistema v prihodnosti,
če poznate trenutno stanje in sile, ki nanj vplivajo.
Gre za iskanje rešitev diferencialne enačbe.
Oglejmo si to v svetu možičkov iz kock.
Navsezadnje, svet matematike je podoben igri, enostavnejši
od resničnega življenja.
Včasih je prav otročja.
Odtisi stopal kažejo poti, ki jim sledijo tekači -
njihove trajektorije.
Denimo, da naši možički korakajo hkrati,
eni z daljšimi, drugi s krajšimi koraki.
Če možiček hodi hitro, sta zaporedni stopinji daleč narazen,
če hodi počasi, pa sta bliže skupaj.
Puščica med dvema zaporednima korakoma označuje hitrost:
gre za diferenco oziroma razliko med dvema korakoma
v zaporednih trenutkih, zato ime diferencialni račun.
Kdo bo zmagovalec šprinta na 100 metrov?
9 sekund, 58 stotink. Odlično!
Dejansko je gibanje redko zgrajeno iz neenakih korakov.
Pri dirkalnih avtomobilčkih se kolesa vrtijo, ne pa korakajo.
Kaj je potem hitrost?
Ker ima naš film 25 sličic na sekundo,
si lahko predstavljamo, da kolo naredi 25 korakov v sekundi.
Potem lahko govorimo o hitrosti na enak način kot pri možičkih.
Newton opisuje zvezno gibanje kot zaporedje koračnih gibanj,
v katerih so koraki tako kratki, da so nezaznavni - kot v filmih.
Računanje hitrosti gibanja imenujemo računanje odvoda.
To je cilj diferencialnega računa.
Tu je nekaj različnih gibanj.
Te puščice označujejo hitrost. Matematiki jih imenujejo vektorji.
Oglejmo si nasprotni problem.
Po tleh so narisane puščice - to imenujemo vektorsko polje.
Zamislite si polje pšenice z vektorji namesto stebel.
Naloga možičkov je premikanje s hitrostjo,
ki jo določa vektorsko polje.
Enostavno, pravite?
Pod nogami vidijo vektor, ki jim narekuje pot.
Stopiti morajo v pravo smer ob zahtevani hitrosti.
Hip zatem prispejo v novo točko z novo hitrostjo,
se namerijo v novo smer in to ponavljajo v nedogled.
Hoja ni zahtevna.
Postaviš eno nogo pred drugo in to ponoviš.
Morali bi bolje razjasniti, kaj pomeni kratek hip.
Newton bi morda odgovoril, da je to neskončno kratek hip.
Videli smo, da neprekinjeno gibanje ni isto kot zaporedje korakov,
pač pa tisto, kar dobimo, ko se koraki manjšajo in manjšajo.
Zato raje kot hojo izberemo avtomobil,
katerega kolesa se vrtijo neprekinjeno.
Sledimo njegovi poti, ki jo imenujemo trajektorija.
To je krivulja, ki je v vsaki točki tangentna na vektorsko polje.
Tukaj imamo vektorsko polje v ravnini in začetna položaja motociklov.
Izrek Cauchyja in Lipschitza povzame koncept determinizma:
pravi, da začetni točki natanko določata trajektoriji.
Iz vsake začetne točke teče natanko ena trajektorija
s to začetno točko.
Vsaka točka ima svojo usodo, ta pa je za vsakogar različna...
Možiček čaka svojo usodo.
Slediti mora svoji trajektoriji in dve različni trajektoriji
se ne smeta nikoli sekati med seboj.
Določanje trajektorij iz podatkov o hitrostnem polju
spada na področje integralskega računa.
Zdaj gremo torej v nasprotni smeri kot diferencialni račun...
Tu so možički, ki bodo urejeno kot vojaki začeli svoj pohod.
Že gredo.
Začetni red se hitro pokvari.
Včasih rečemo, da določamo tok polja,
kot da bi figurice plavale v reki,
kjer jih nosi vodni tok.
Zamislite si tok človeštva:
7 milijard možičkov, ki potujejo po Zemlji,
ali pa tok milijard milijard
milijard molekul v zemeljski atmosferi.
Tukaj je preprost primer, skoraj naiven,
ki nam pokaže vso šibkost determinizma...
Poglejmo si to vektorsko polje.
Figurice se pomikajo naprej.
Tiste levo od središčnice se obračajo na levo,
desno od središčnice pa se obračajo na desno.
Determinizem na neki način velja:
vsakdo sledi svoji usodi, nad katero nima nadzora.
A po drugi strani imata lahko možička,
ki sta blizu skupaj, povsem različni usodi.
Malenkosti lahko povsem spremenijo prihodnost.
V svoji knjižici Snov in gibanje
iz leta 1876 je fizik Maxwell poudaril
občutljivost fizikalnih fenomenov na začetne pogoje.
Takole je zapisal:
»Obstaja načelo, da enaki vzroki vedno povzročijo enake učinke.
Obstaja pa še eno načelo, ki ga ne smemo zamešati s prvim.
To načelo pravi, da podobni vzroki povzročijo podobne učinke.
Toda to velja samo takrat, ko majhne spremembe začetnega stanja
povzročajo le majhne spremembe končnega stanja sistema.
V večini fizikalnih fenomenov je to res izpolnjeno,
včasih pa lahko drobcena sprememba začetnega stanja
povzroči velikansko razliko v končnem stanju sistema.«
Majhna razlika v hitrosti avtomobila lahko na primer
povzroči prometno nesrečo.
Ta odvisnost prihodnosti od začetnih pogojev
predstavlja le en vidik kaosa!
Obstajajo še veliko bolj kompleksne situacije...
Predstavljajte si denimo vektorsko polje,
ki ni narisano na ravnini, ampak v prostoru.
Na primer tega, ki ga vidite na navpični ravnini,
ki se pomika naprej in nazaj.
Možički zdaj ne korakajo, temveč letijo z vesoljskimi plovili.
V vsakem hipu je njihova hitrost določena z vektorskim poljem.
Poglejmo, kaj se dogaja z njimi.
To je veliko bolj nepredvidljivo!
Predstavljati možička kot vedeževalca
pri takem vrtiljaku ni več mogoče.
Njegove napovedi bi bile zgolj zavajanja.
Kje bo čez eno uro?
Nihče ne ve!
Če je težko napovedati prihodnost že figurici iz kock,
kako je šele napovedovati prihodnost človeškim bitjem?