ХАОС Глава 2 — Гонка лего
26 октября 1676 года
Исаак Ньютон пишет письмо
своему главному сопернику, Лейбницу.
Он хочет сообщить о своём величайшем открытии,
но в то же время хочет сохранить его в тайне.
Так что он посылает ребус:
«6a, 2c, d, ae, 13e, 2f, 7i, 3l, 9n, 4o, 4q, 2r, 4s, 8t, 12v, x».
Лейбниц не раскодировал сообщение,
но учёные-историки всё же расшифровали фразу на латыни,
которая скрывалась за анаграммой:
«Data aequatione quotcunque
fluentes quantitates involvente,
fluxiones invenire et vice versa».
Или на русском:
«Имея уравнение с любым количеством неизвестных,
найти их производные, и наоборот».
Это — дифференциальное и интегральное исчисление,
магический хрустальный шар, невероятно эффективный в предсказании будущего.
Благодаря ему можно вычислить будущее движение системы,
если вы знаете её текущее состояние и силы, действующие на неё.
Такие вычисления называют решением дифференциального уравнения.
Давайте посмотрим, как это будет выглядеть в мире лего.
В конце концов, мир математики напоминает игру,
где всё проще, чем в настоящей жизни;
мир временами детский.
Следы отмечают пути, которыми следовали атлеты,
их траектории.
Предположим, что наши человечки шагают раз в одно и то же время,
но эти шаги могут быть длинными, а могут — короткими.
Когда фигурки лего идут быстро, два последовательных следа стоят далеко,
а когда они идут медленно, следы близки друг к другу.
Стрелка, соединяющая два последовательных шага, показывает скорость:
это разница (difference) между положениями в два последовательных момента времени,
отсюда и название «дифференциальное исчисление».
Гонка на сто метров.
Кто победит?
9.58 секунды, отлично!
По правде говоря, движение редко состоит из отдельных шагов.
Взгляните на гоночные автомобили:
они едут, а не шагают!
Что же мы тогда называем скоростью?
Этот фильм, к примеру, содержит 25 кадров в секунду.
Так что можно представить, что мотоцикл делает 25 «шагов» за каждую секунду.
И мы можем рассуждать о его скорости точно так же,
как до этого рассуждали о скорости лего-бегунов.
Ньютон рассматривал любое непрерывное движение как своеобразный предел отдельных шагов,
но при этом каждый шаг становился так мал, что оказывался незаметен, как в фильме.
Вычисление скорости движения называется вычислением производной.
Это и есть цель «дифференциального исчисления».
Посмотрим на эти движения.
Стрелки, обозначающие скорость, математики называют векторами.
Теперь представим обратную задачу.
Вы видите стрелки, нарисованные по всему полу.
Это — векторное поле.
Представьте себе пшеничное поле,
но вместо стеблей пшеницы — вектора.
Задача человечков — двигаться со скоростью, обозначенной векторным полем.
Легко, скажете вы!
Они смотрят себе под ноги,
видят вектор, задающий их скорость,
и стартуют в этом направлении с этой скоростью.
Мгновение спустя они прибывают в новую точку, где задана новая скорость.
Затем они отправляются в новом направлении,
и так снова и снова.
Ходить несложно:
просто ставьте одну ногу впереди другой и так раз за разом.
Вообще-то следует объяснить, что мы имеем ввиду под словами «мгновение спустя».
Ньютон бы ответил:
«В бесконечно близкий момент времени!»
Мы уже видели, что непрерывное движение совсем не то же, что последовательность шагов,
это то, что получается, когда шаги становятся всё меньше и меньше.
Так что, чем скакать как лего-человечек,
лучше взять машину, которая движется непрерывно.
Ваш путь будет называться траекторией —
кривой, всюду касательной к векторному полю.
Вот векторное поле на плоскости и две точки —
начальные положения двух мотоциклов.
Теорема Коши — Липшица воплощает сущность детерминизма:
она утверждает, что эти точки определяют свои будущие траектории.
Для каждой точки существует единственная траектория, начинающаяся из неё.
У каждой точки своя судьба, отличная от остальных.
Лего-человечек встречает свою судьбу!
Всё, что ему остаётся, — лишь следовать своей траектории,
а две траектории никогда не пересекутся.
Определение траектории по известному полю скоростей
и есть задача интегрального исчисления —
задача, как мы видим, обратная задаче дифференциального исчисления.
А вот группа лего-человечков аккуратно построилась,
как отряд маленьких солдат, готовая начать шагать.
Вот они пошли.
Видите, как аккуратный первоначальный строй разбился.
Иногда говорят, что мы находим поток, соответствующий полю,
как если бы эти фигурки плыли по реке, каждая в своём направлении течения.
Подумайте о потоке человечества,
об этих семи миллиардах лего-человечков, движущихся по всей Земле,
или о потоке миллиардов миллиардов миллиардов молекул в земной атмосфере.
Вот простой, почти наивный, пример,
который демонстрирует слабость детерминизма.
Посмотрите на это векторное поле.
Фигурки движутся вперёд.
При этом видно, что фигурки слева от центральной оси поворачивают налево,
а фигурки справа поворачивают направо.
В каком-то смысле детерминизм прав:
каждый следует своей судьбе, на которую не в силах повлиять.
Но, с другой стороны, два человечка, расположенные очень близко друг к другу,
имеют очень разные судьбы.
Такая мелочь может полностью изменить будущее.
В своей книге «Материя и движение», опубликованной в 1876 году,
физик Максвелл акцентирует внимание
на чувствительности физических явлений к начальным условиям.
Вот что он пишет:
«Существует максима,
что из одних и тех же причин всегда следуют одни и те же следствия…
Есть и другая, и её не следует путать с предыдущей.
Она утверждает,
что „подобные причины порождают подобные следствия“.
Это справедливо только тогда,
когда небольшие изменения в начальных условиях порождают лишь
небольшие изменения в конечном состоянии системы.
В великом множестве физических явлений это условие выполняется,
но есть случаи, когда малое начальное изменение
может создать очень большие перемены в конечном состоянии системы».
Например, небольшое отличие в скорости машины
может привести к аварии.
Зависимость будущего от начальных условий —
это всего лишь одна сторона хаоса.
Но бывают гораздо более сложные ситуации.
Представьте, к примеру, векторное поле
которое нарисовано уже́ не на плоскости, а в пространстве.
Вот это, например,
которое вы видите на вертикальной плоскости, движущейся вперёд-назад.
Теперь наши лего не ходят,
они летают на своих космических кораблях!
В каждое мгновение их скорости определяются этим векторным полем.
Смотрите, как летают наши несчастные лего.
Гораздо хаотичнее.
Представьте, что один из них захотел бы стать провидцем.
Не на таких «американских горках»!
Его предсказания были бы просто жульничеством.
Где он окажется через час?
Никто не знает.
Если так сложно предсказать будущее лего,
представьте, каково предсказать будущее человеческого существа!