CHAOS2-A corrida dos legos
Dia 26 de outubro de 1676
Isaac Newton escrevia uma carta
ao seu grande rival Leibniz.
Ele queria evocar a sua maior descoberta
mas, ao mesmo tempo,
mantê-la em segredo
então ele envia um quebra-cabeça:
«6a, 2c, d, ae, 13e, 2f, 7i, 3l, 9n, 4o, 4q, 2r, 4s, 8t, 12v, x».
Leibniz não decodificou esta mensagem
mas os historiadores científicos
acabaram por decriptografar a frase em latim
escondida no anagrama:
«Data aequatione quotcunque
fluentes quantitates involvente,
fluxiones invenire et vice versa.»
Em português:
«Sendo dada uma equação
de várias variáveis,
encontrar suas derivadas e vice-versa.»
Trata-se do cálculo diferencial e integral:
uma bola de cristal incrivelmente eficaz
para predizer o futuro.
Ele permite calcular
o movimento futuro de um sistema
quando se conhece sua situação atual
e as forças que são aplicadas a este sistema.
É o que chamamos de resolver uma equação diferencial
ou encontrar suas soluções.
Vejamos isto no mundo dos legos.
Afinal, o mundo matemático
é um como um jogo, onde tudo é mais simples
que na vida real;
um mundo algumas vezes infantil.
As pegadas indicam
o caminho seguido
pelos atletas,
suas trajetórias.
Suponhamos que os passos destes senhores
sigam uma cadência regular
mas que estes passos fossem, para alguns, grandes,
e para outros, pequenos.
Quando o lego vai rápido,
dois traços consecutivos ficam distantes
Quando ele vai devagar os traços se aproximam.
A flecha que une dois passos consecutivos
indica a velocidade:
ela é, de certo modo,
a diferença das posições
em dois instantes consecutivos
donde o nome “cálculo diferencial”
Os legos correm uns cem metros.
Quem vai ganhar?
9'58! Bravo!
Na verdade,
um movimento raramente consiste
de passos separados.
Veja, por exemplo, esses carros rodando:
eles rodam, não caminham!
Que sentido dar a suas velocidades?
Uma ideia consiste em dizer que, na verdade,
este filme é constituído
de 25 imagens por segundo
de modo que possamos, de fato, pensar
que a moto dá 25 “passos” em cada segundo
e podemos, então, falar de sua velocidade
como se falássemos da velocidade do lego.
Newton considera todo movimento continuo
como uma espécie de limite
de movimentos passo a passo,
mas cujos passos se tornam tão pequenos
que não mais são percebidos, como no cinema.
Calcular a velocidade de um deslocamento,
é o que chamamos de calcular uma derivada.
É o objetivo do “cálculo diferencial”.
Vejamos alguns movimentos.
As flechas que indicam a velocidade,
são chamadas pelos matemáticos de vetores.
Agora, imaginemos o problema inverso.
Você vê flechas espalhadas
por todo o solo.
Falamos de um campo de vetores.
Imagine um campo de trigo...
mas em vez de um galho contendo trigo,
você tem um vetor.
A missão dos legos
é se deslocar com a velocidade
que é indicada pelo campo de vetores.
Fácil, poderão dizer!
Eles olham para os próprios pés,
veem um vetor
que lhes informa a velocidade
e então partem no sentido do vetor
com esta velocidade.
Um instantezinho mais tarde,
Eles chegam num novo ponto
com uma nova velocidade,
então partem num novo sentido,
e assim por diante.
“Andar a pé, não é difícil.
basta colocar um pé diante do outro
e começar a andar”!
Realmente,
é preciso explicar o que significa
“Um instantezinho mais tarde”.
e a resposta de Newton seria:
“um instante infinitamente pequeno!”.
Já vimos:
Já vimos: um movimento contínuo não é igual
a uma sucessão de passos,
é um limite,
quando os passos se tornam cada vez menores.
Em vez de saltitar como um lego,
pegue um carro
que rode de modo contínuo.
Então, você descreve
o que chamamos de trajetória;
uma curva sempre tangente a um campo de vetores.
Temos um campo de vetores no plano,
e dois pontos
que tomamos como posições iniciais
de duas motos.
O teorema de Cauchy-Lipschitz
resume o conceito de determinismo:
afirma que estes dados determinam
a trajetória futura.
Partindo de cada ponto,
há uma única trajetória,
cuja posição inicial é o ponto dado.
Cada ponto tem seu destino
diferente dos outros...
O lego frente a seu destino!
a única coisa que pode fazer é seguir sua trajetória.
e portanto duas trajetórias
não podem jamais se cruzar.
Determinar a trajetória
a partir do conhecimento
do campo de velocidade,
é o trabalho do cálculo integral,
que assim segue o caminho inverso
do cálculo diferencial...
Aqui temos um grupo de legos,
ordenados
como soldadinhos, prontos para partir.
Veja os legos se deslocando.
Veja que a ordem inicial
foi modificada.
Algumas vezes falamos em determinar
o fluxo de um campo,
um pouco como se todos os personagens
flutuassem sobre um rio,
ao sabor da corrente, cada um seguindo o seu curso.
Pense no fluxo da humanidade,
estes 7 bilhões de legos deslizando sobre a Terra
ou pense no fluxo de milhares de milhares
de milhares de moléculas na atmosfera terrestre.
Temos aqui um exemplo bem simples,
quase ingênuo,
que vai nos mostrar a fragilidade do determinismo...
Observe este campo de vetores.
Os legos avançam, e você vê,
os que estão a esquerda da linha
se birfurcam a esquerda
e, igualmente, os que estão a direita
se birfurcam a direita.
Num certo sentido o determinismo é real:
cada um segue o seu destino
sobre o qual não tem controle.
Por outro lado,
dois legos vizinhos
têm destinos muito diferentes.
Uma coisinha minúscula
pode mudar totalmente o futuro.
No seu livrinho “Matéria e Movimento”,
publicado em 1876,
o físico Maxwell insiste
sobre a sensibilidade às condições iniciais
nos fenômenos físicos.
Eis o que ele escreveu:
“Existe um provérbio segundo o qual
as mesmas causas produzem os mesmos efeitos[...]
Mas há outro provérbio
com o qual é preciso não confundir:
causas semelhantes
produzem efeitos semelhantes.
Isto é verdade unicamente
se pequenas variações
nas condições iniciais
produzem pequenas variações
no estado final do sistema...
Isto é verdade em muitos casos,
mas existem outros em que
uma pequena variação inicial pode produzir
grandes mudanças no estado final.»
Como, por exemplo,
o deslocamento de um interruptor em um trilho
pode provocar um acidente.
Esta dependência do futuro
às condições iniciais
não é senão um dos aspectos do caos!
Mas há situações bem mais complexas.
Imagine, por exemplo, um campo de vetores
que não é mais traçado sobre a terra,
mas no espaço.
Por exemplo este
que você vê sobre planos
que recuam progressivamente.
Agora, nossos legos não andam mais
eles voam em suas naves espaciais!
A cada instante, sua velocidade
é dada pelo campo de vetores.
Veja o que acontece aos nossos legos infelizes!
Muito mais caótico!
Imaginem um lego
que desejasse ser vidente:
impossível com tais montanhas russas:
suas predições seriam apenas imposturas.
Onde estaria dentro de uma hora?
Ninguém nunca vai saber!
Se é difícil de prever o futuro de um lego,
então, imagine, o futuro de um ser humano!