CHAOS 2- De Lego race
Op 26 oktober 1676
schrijft Isaac Newton een brief
aan zijn grote rivaal Leibniz.
Hij wil praten over zijn grootste ontdekking
maar tegelijkertijd
wil hij die geheim houden,
en dus zendt hij een raadsel:
«6a, 2c, d, ae, 13e, 2f, 7i, 3l, 9n, 4o, 4q, 2r, 4s, 8t, 12v, x».
Leibniz heeft dit bericht niet kunnen ontcijferen
maar wetenschapshistorici hebben uiteindelijk
de Latijnse zin gevonden
die verstopt zat in het anagram:
«Data aequatione quotcunque
fluentes quantitates involvente,
fluxiones invenire et vice versa.»
In het Nederlands:
Gegeven een vergelijking
met variabelen,
de afgeleide vinden, en vice versa. "
Het gaat hier over differentiaal- en integraalrekenen:
een kristallen bol die ongelooflijk efficiënt
is om de toekomst te voorspellen.
Hiermee kan je de toekomstige beweging
van een systeem berekenen als je weet
wat de huidige toestand is
en de krachten die erop inwerken.
Dit heet het oplossen van een differentiaalvergelijking,
of het vinden van haar oplossingen.
Laten we dit bekijken in de Lego wereld.
De wiskundige wereld is immers een beetje een spel,
waar alles eenvoudiger is
dan in het echte leven;
een wereld die soms kinderlijk is.
De voetafdrukken
geven de wegen aan
die de atleten volgen,
hun banen.
Veronderstel dat de mannetjes
stappen nemen in een regelmatig tempo
maar dat die passen
soms groot en soms klein zijn.
Wanneer een mannetje snel stapt,
staan twee opeenvolgende voetsporen ver van mekaar.
Als hij traag stapt staan ze dicht bij elkaar.
De pijl die twee opeenvolgende voetsporen verbindt
geeft de snelheid aan :
het is het verschil
tussen de posities op
twee opeenvolgende momenten,
vandaar het woord "differentiaalrekenen".
De honderd meter sprint.
Wie zal er winnen?
9'58 ", Bravo!
Een beweging
bestaat maar zelden
uit schokkerige passen.
Bekijk bijvoorbeeld deze rijdende auto’s:
ze rijden, ze stappen niet.
Hoe bepalen we dan hun snelheid?
Een eerste idee is om te zeggen
dat deze film bestaat
uit 25 beeldjes per seconde
zodat men zich kan voorstellen
dat de motorfiets 25 "pasjes" per seconde doet!
En zo kunnen we dus praten over zijn snelheid,
net zoals we praatten over de snelheid van de mannetjes.
Newton beschouwt elke continue beweging
als een soort limiet
van schokkerige bewegingen,
maar waarvan de passen zo klein worden
dat men ze niet meer ziet, net als in de film.
De snelheid van een verplaatsing berekenen
noemt men de afgeleide berekenen..
Dat is het doel van "differentiaal rekenen".
Hier zijn een aantal bewegingen.
Wiskundigen noemen deze pijlen
die de snelheid aangeven “vectoren”.
Stel je eens het omgekeerde probleem voor.
Je ziet pijlen die zowat overal
op de grond getekend zijn.
Dit noemen we een vectorveld.
Stel je een graanveld voor.
Maar in plaats van graanstengels zie je vectoren.
De opdracht van de mannetjes is
om zich te verplaatsen met een snelheid
die wordt aangegeven door het vector veld.
Makkelijk zal je zeggen!
Ze kijken onder hun voeten,
ze zien een vector
die hun snelheid aangeeft,
en ze stappen in die richting
met die snelheid.
Een ogenblik later
komen ze bij een nieuw punt
met een nieuwe snelheid,
ze stappen in de nieuwe richting
en doen dat steeds opnieuw.
Stappen is niet moeilijk:
Gewoon een voet voor de andere zetten
en dit herhalen! "
Eigenlijk moeten we uitleggen
wat we bedoelen met
een ogenblik later.
Het antwoord van Newton zou zijn:
Een oneindig klein ogenblik! ...
We hebben al gezien dat een continue beweging
niet hetzelfde is als een
een opeenvolging van stappen,
het is eerder een limiet,
waarbij de stappen steeds kleiner worden.
In plaats van te huppelen als een legoventje,
nemen we een auto
die continu rijdt.
Zo beschrijven we
een baan :
een kromme die overal aan het vectorveld raakt.
Hier is een vectorveld in het vlak,
en twee punten,
die de startpunten zijn
van twee motorfietsen.
De stelling van Cauchy-Lipschitz
vat het concept van het determinisme samen:
die punten bepalen
de toekomstige banen.
Vanuit elk punt
is er een unieke baan
met dat punt als beginpunt.
Elk punt heeft eigen zijn lot,
voor alle punten verschillend ...
Het legomannetje oog in oog met zijn lot!
Hij kan enkel zijn eigen baan volgen
en twee banen
kunnen mekaar dus niet kruisen.
Het bepalen van de baan
aan de hand van de kennis
van het snelheidsveld,
dat is het werk van de integraalrekening,
die dus het omgekeerde doet
van de differentiaalrekening ...
Hier zie je een groep lego mannetjes,
netjes in het gelid
als kleine soldaten, klaar om te vertrekken.
Daar gaan ze.
Je ziet dat hun nette ordening
snel verbroken wordt.
Men spreekt soms over
het bepalen van de stroming
van een vectorveld, alsof al deze mannetjes
op een rivier drijven,
ieder door de stroom meegenomen in zijn eigen baan…
Denk aan de stroming van de mensheid,
deze zeven miljard legomannetjes die over de aarde bewegen,
Of denk aan de stroming van miljarden, miljarden
en miljarden moleculen in de atmosfeer van de Aarde.
Hier is een eenvoudig voorbeeld,
bijna naïef,
dat ons een zwak punt van het determinisme gaat tonen ...
Bekijk dit vectorveld.
De mannetjes gaan vooruit,
diegenen links van de centrale lijn
gaan naar links
en diegenen rechts van de lijn
gaan naar rechts.
In zekere zin is het determinisme geldig:
iedereen volgt zijn lot
waarover hij geen controle heeft.
Maar anderzijds hebben twee mannetjes
die eerst heel dicht bij mekaar waren,
een erg verschillend lot.
Iets kleins kan de toekomst
volledig veranderen.
In zijn boekje "Matter and Motion",
gepubliceerd in 1876,
benadrukt de natuurkundige Maxwell
hoe gevoelig fysieke fenomen zijn voor hun beginvoorwaarden.
dans les phénomènes physiques.
Hij schrijft het volgende:
Er is een stelregel dat
dezelfde oorzaken dezelfde gevolgen hebben [...]
Maar er is er ook een andere
die je niet mag verwarren met de eerste,
namelijk dat bijna gelijke oorzaken
ook bijna gelijke gevolgen hebben.
Dat is alleen waar
als kleine variaties
in de begintoestand
slechts leiden tot kleine variaties
in de eindtoestand van het systeem ...
In veel gevallen is dit zo,
maar in andere gevallen
kan een klein verschil in het begin
leiden tot grote veranderingen op het einde."
Bijvoorbeeld: Een klein verschil
in de snelheid van de auto
kan leiden tot een ongeval.
Deze invloed van de beginvoorwaarden
op de toekomst,
is maar één aspect van chaos!
Maar er zijn veel complexere situaties ...
Stel je bijvoorbeeld een vectorveld voor
dat niet meer op de grond getekend is,
maar in de ruimte.
Bijvoorbeeld dit,
waarbij je de vectoren ziet op vlakken
die langzaam achteruit bewegen.
Nu lopen onze mannetjes niet meer,
ze vliegen in hun ruimteschip!
Op elk moment wordt hun snelheid
bepaald door het vectorveld.
Zie wat er gebeurt met onze arme legomannetjes!
Veel chaotischer!
Stel je een mannetje voor
die waarzegger wil zijn:
onmogelijk met zo'n achtbaan:
zijn voorspellingen zouden bedrog zijn.
Waar zal hij binnen een uur zijn?
Niemand zal het ooit weten!
Als het al moeilijk is om de toekomst van een legomannetje te voorspellen
wat dan met de toekomst van een mens!