CHAOS 2-The Lego race
Pada Oktober 26, 1676
Isaac Newton sedang menulis surat
kepada pesaing hebatnya Leibniz.
Beliau ingin berbincang tentang penemuannya yang terhebat
tetapi pada masa yang sama
beliau ingin merahsiakannya,
jadi beliau menghantarkan sebuah teka-teki:
«6a, 2c, d, ae, 13e, 2f, 7i, 3l, 9n, 4o, 4q, 2r, 4s, 8t, 12v, x».
Leibniz tidak dapat mentafsirkan mesej tersebut
tetapi ahli sejarah telah
memecahkan kod tersebut
frasa Latin yang disembunyikan dalam anagram tersebut:
«Data aequatione quotcunque
fluentes quantitates involvente,
fluxiones invenire et vice versa.»
Dalam bahasa Inggeris:
«Diberi sesuatu persamaan
dalam sebarang bilangan pemboleh ubah,
menentukan derivatifnya dan sebaliknya.»
Inilah kalkulus:
bola kristal yang amat efektif
untuk meramal masa depan.
Ia membolehkan kita mengira
pergerakan masa depan untuk sesuatu sistem
apabila kita mengetahui keadaan masa kini
dan kuasa yang mempengaruhinya.
Ia berkaitan dengan penyelesaian sesuatu persamaan pembezaan
dan mencari penyelesaiannya.
Marilah kita melihatkannya dalam dunia manusia lego.
Sebabnya, dunia matematik
adalah seperti permainan
di mana segalanya menjadi lebih mudah daripada kehidupan yang sebenar;
dunia yang kadang-kala dilihatkan sebagai kebudak-budakan.
Jejak tersebut menunjukkan
jalan yang diikuti
oleh para atlet,
trajektori mereka.
Andaikan manusia kecil kita
membuka langkah pada kadar yangtetap
tetapi langkahnya kadang-kala besar
dan kadang-kalanya kecil.
Apabila manusia Lego bergerak dengan pantas,
dua tapak yang berturut-turut adalah jauh antara satu sama lain.
Apabila mereka bergerak dengan perlahan, pertapakan mereka adalah dekat.
Anak panah yang menyambungkan dua langkah yang berturut-turut
menunjukkan kelajuannya:
ia merupakan perbezaan
antara dua kedudukan
pada dua ketika yang berturut-turut,
maka perkataannya ``kalkulus perbezaan".
Perlumbaan seratus meter.
Siapakah akan menang?
9'58 ", bagus!
Pergerakan
jarangnya terdiri daripada langkah-langkah yang terhenti-henti.
Perhatikan kereta lumba tersebut:
Mereka bergerak tanpa mengambil langkah!
Jadi apakah yang dimaksudkan dengan kelajuan?
Salah satu idea ialah:
filem ini mengandungi
25 kerangka setiap saat
jadi seseorang boleh berfikir bahawa
motorsikal tersebut sedang mengambil 25 'langkah' setiap saat!
dan kita dapat berbincang tentang kelajuannya,
seakan-akan kita sedang berbincang tentang kelajuan manusia lego.
Newton menganggarkan segala pergerakan yang berterusan
sebagai urutan
yang terdiri daripada pergerakan langkah demi langkah,
tetapi dengan langkah yang menjadi
terlalu kecil sehingga mereka tidak dapat dilihat, seperti dalam filem.
Mengira kelajuan sesuatu pergerakan,
ialah mengira derivatif.
Inilah tujuan “kalkulus pembezaan”.
Di sini ialah beberapa pergerakan.
Anak panah tersebut menunjukkan kelajuan,
dan ahli matematik menggelar mereka sebagai vektor.
Bayangkan masalah yang disebalikkan.
Kamu melihat anak panah
dilukis pada lantai.
Kita menggelarnya lapangan vektor.
Bayangkan sesuatu lading gandum ...
tetapi batang gandum digantikan dengan
vektor.
Tujuan manusia lego
adalah untuk bergerak dengan kelajuan
yang ditunjukkan oleh lapangan vektor tersebut.
Tentulah kamu berfikir, mudah!
Mereka melihat di bawah kaki mereka,
dan melihat sesuatu vektor
yang memaklumkan kelajuan mereka,
lalu mereka bergerak dalam arah tersebut
dengan kelajuan yang telahpun ditentukan.
Dalam masa yang singkat,
mereka tiba di titik yang baru
dengan kelajuan yang baru,
mereka pun bergerak kea rah yang baru
dan mereka turut berulang-ulang proses tersebut.
Berjalan bukanlah susah
Letaklah salah satu kaki di hadapan kaki yang lain
dan berulang! "
Sebenarnya, kita harus menjelaskan
maksud kita dengan
"Dalam masa yang singkat!"
Jawapan Newton ialah
«Masa yang singkat dengan tidak terhingga! ..»
Kita telah mengetahui bahwa
pergerakan yang berterusan bukan perkara yang sama dengan
beberapa langkah yang berturut-turut:
ia merupakan produk,
apabila langkah tersebut menjadi kecil demi kecil.
Jadi janganlah kita melompat seperti manusia lego, dan
mempertimbangkan sebuah kereta yang bergerak secara berterusan.
qui roule de manière continue.
Kamu akan mengikut sesuatu yang digelar
trajektori;
sesuatu lengkung yang tangen kepada lapangan vektor di mana-mana sahaja.
Sinilah diberi lapangan vektor pada satah,
bersama dua titik yang merupakan
kedudukan asal untuk dua buah motorsikal.
Teorem daripada Cauchy-Lipschitz
merumuskan konsep determinisme:
teorem tersebut menyatakan bahawa titk tersebut
menentukan trajektorinya untuk masa depan.
Bermula daripada setiap titik,
terdapat trajektori yang unik
dengan kedudukan asal pada titik-titik tersebut.
Setiap titik mempunyai takdirnya,
yang berbeza untuk setiap orang...
Manusia lego menghadapi takdirnya!
Dia hanya dapat mengikut trajektorinya,
dan dua trajektori
tidak pernah merentas antara satu sama lain.
Menentukan trajektori
daripada pengetahuan
tentang lapangan vektor tersebut
merupakan tujuan kalkulus integral,
yang berfungsi dalam arah yang bertentangan
dengan kakulus pembezaan...
Sinilah terdapat sekumpulan manusia lego,
disusun dengan kemas
seperti askar yang kecil, bersedia untuk berjalan.
Mereka pun bergerak.
Kamu dapat melihat bahawa susunan yang kemas
pada asalnya telah dipecahkan.
Ada orang yang berkata
seseorang menentukan aliran sesuatu padang,
seakan-akan manusia tersebut
terapung di sebatang sungai,
mengikut perjalanan masing-masing dalam arusnya.
Fikirkanlah aliran kemanusiaan,
tujuh billion manusia lego bergerak di seluruh Bumi,
ataupun fikirkanlah aliran berbilion-bilion
molekul dalam atmosfera Bumi.
Sinilah contoh yang mudah,
hampir naif,
yang akan menunjukkan salah satu kekurangan dalam determinisme...
Perhatikan lapangan vektor ini.
Badan-badan tersebut bergerak ke hadapan, dan yang boleh dilihat,
mereka di sebelah kiri daripada garis pusat
berbelah ke kiri
dan mereka yang berada di sebelah kanan
berbelah ke kanan.
Dari sesuatu sudut, determinisme adalah sah:
setiap orang mengikut takdirnya
dia tidak dapat mengawalnya.
Tetapi sebaliknya,
dua orang yang sangat dekat antara mereka
mempunyai takdir yang amat berbeza.
Perkara yang kecil
Boleh berubah masa depan secara sepenuhnya.
Dalam bukunya “Jirim dan Pergerakan",
yang diterbitkan pada tahun 1876,
ahli fizik Maxwell menekankan
sifat fenomena fizikal yang sensitif
terhadap keadaan asal.
Inilah tulisannya:
«Terdapat pepatah…bahawa
punca yang sama akan sentiasa menghasilkan kesan yang sama [...]
Terdapat pepatah yang lain
yang tidak boleh dikelirukan dengan pepatah yang pertama,
mengatakan bahawa
“punca yang serupa menghasilkan kesan yang serupa”.
Hal ini hanya menjadi kebenaran apabila
variasi yang kecil dalam
keadaan asal hanya menghasilkan
variasi yang kecil dalam
keadaan akhir sesuatu sistem.
Dalam banyak fenomena fizikal
syarat tersebut adalah dipenuhi; tetapi terdapat
kes yang lain di mana variasi yang kecil pada asalnya mungkin
menghasilkan perubahan yang amatlah besar dalam keadaan akhir sistem tersebut. "
Sebagai contoh, perbezaan yang kecil
dalam kelajuan sesuatu kereta
mungkin menghasilkan kemalangan.
Kebergantungan masa depan
pada keadaan semasa
hanya merupakan salah satu aspek dalam kaos!
Tetapi masih terdapat situasi yang lebih rumit...
Sebagai contoh, bayangkan sebuah lapangan vektor
yang tidak lagi dilukis pada lantai,
tetapi di ruang.
Contohnya situasi ini
yang dapat dilihat pada satah menegak
bergerak ke sana dan ke sini.
Sekarang manusia lego kita tidak lagi berjalan:
mereka menerbangkan kapal angkasa mereka!
Pada setiap ketika, kelajuan mereka
ditentukan oleh lapangan vektor.
Lihatlah apa yang berlaku kepada manusia lego kita yang malang?
Keadaan inilah huru-hara
Bayangkan manusia lego sebagai tukang ramal:
mustahil dengan roller coaster tersebut:
Ramalannya akan hanya menjadi penipuan.
Manakah kedudukannya dalam sejam?
Tiada orang yang tahu!
Sekiranya meramal masa depan untuk lego adalah susah
bayangkan kerja meramal masa depan seorang manusia!