CHAOSAS 2 - Lego lenktynės
1676 metų spalio 26 dieną
Izaokas Niutonas rašo laišką
savo didžiausiam konkurentui Leibnicui.
Jis norėtų aptarti savo didžiausią atradimą,
tačiau tuo pačiu metu
jis nori jį išlaikyti paslaptyje.
Todėl jis siunčia mįslę:
«6a, 2c, d, ae, 13e, 2f, 7i, 3l, 9n, 4o, 4q, 2r, 4s, 8t, 12v, x».
Leibnicas neiššifravo šios žinutės,
tačiau mokslo istorikai
galiausiai atrado
lotynišką frazę, pasislėpusią po anagrama:
«Data aequatione quotcunque
fluentes quantitates involvente,
fluxiones invenire et vice versa.»
Lietuviškai:
,,Turint lygtį
su kažkiek nežinomųjų,
rasti išvestines ir atvirkščiai.''
Tai yra diferencialinis ir integralinis skaičiavimas:
krištolo rutulys, kuris yra itin veiksmingas
spėjant ateitį.
Jis leidžia apskaičiuoti
būsimą sistemos judėjimą,
kai yra žinoma pradinė būsena
ir jėgos kurios, veikia sistemą.
Tai reiškia: sprendžiame diferencialinę lygtį.
Arba: randame jos sprendinius.
Stebėkime šį Lego žmonių pasaulį.
Iš tikrųjų, matematinis pasaulis
yra šiek tiek kaip žaidimas,
kur viskas yra paprasčiau nei realiame gyvenime;
pasaulis, kuris kartais yra vaikiškas.
Pėdsakai rodo kelius,
kuriuos nuėjo atletai,
jų trajektorijas.
Tarkime, kad mūsų žmogeliukai
daro žingsnius pastoviu ritmu,
tačiau šie žingsniai kartais dideli,
o kartais - maži.
Kai jie juda greitai,
du gretimi pėdsakai yra toli vienas nuo kito.
Kai veiksmas lėtas, jei yra arti vienas kito.
Rodyklė, jungianti du gretimus žingsnius,
parodo greitį:
tai yra skirtumas (eng. difference)
tarp dviejų pozicijų,
priklausančių dviems gretimiems momentams,
iš kur ir terminas ,,diferencialinis skaičiavimas''.
Šimto metrų lenktynės.
Kas laimės?
9.58 sekundės! Puiku!
Tačiau judėjimas yra
retai sudarytas iš trūkčiojančių žingsnių.
Stebėkite šiuos automobilius:
Jie rieda, o ne daro žingsnius!
Ką mes vadiname greičiu?
Galime sakyti, kad šis filmas
susideda iš
25 kadrų per sekundę,
kad galėtume galvoti, jog
motociklas daro 25 žingsnius per sekundę!
Ir tuomet, mes galime apie jo greitį kalbėti
lygiai taip pat, kaip apie Lego bėgikų greitį.
Niutonas kiekvieną tolydų judėjimą laiko
kaip tam tikrą seką,
sudarytą iš žingsnių,
kurie yra tokie maži, kad
jų nepastebime: kaip kine.
Judesio greičio apskaičiavimas
yra vadinamas išvestinės skaičiavimu.
Tai yra diferencialinio skaičiavimo tikslas.
Štai yra keli judėjimai.
Strėlės parodo greitį,
o matematikai juos vadina vektoriais.
Dabar įsivaizduokime atvirkščią problemą.
Mes matome strėles,
nupieštas ant žemės.
Mes tai vadiname vektoriniu lauku.
Įsivaizduokite rugių lauką...
bet vietoj rugių
jūs turite vektorius.
Lego žmonių tikslas
yra judėti greičiu,
nurodytu vektoriniame lauke.
Sakote lengva?!
Jie žiūri sau po kojomis
ir mato vektorių,
kuris pasako jiems jų greitį.
Tada jie ir pasileidžia šia kryptimi,
nurodytu greičiu.
Akimirką vėliau
jie būna atvykę į kitą tašką,
kuriame yra kitas greičio vektorius.
Na ir tada jie keliauja nauju greičiu.
Jie tai daro be sustojimo.
Vaikščioti nėra sunku:
tiesiog dėkite vieną pėdą priekyje kitos
ir kartokite!
Iš tikrųjų, reikia paaiškinti,
ką mes vadiname
,,akimirka vėliau''.
Niutono atsakymas būtų:
,,Begalinai trumpa akimirka!..''
Mes jau matėme, kad
tolydus judėjimas yra ne tas pats
kas žingsnių seka, -
tai yra tai, ką gauname,
kai žingsniai darosi vis mažesni ir mažesni.
Taigi, vietoj to, kad
liuoksėtume kaip Lego žmogeliukai,
sėdame į automobilį, kuris rieda tolydžiai.
Galime nusakyti,
kas yra trajektorija:
kreivė, kuri visur liečiasi su vektoriniu lauku.
Turime vektorinį lauką plokštumoje
ir du taškus, kurie yra
pradinės dviejų motociklų pozicijos.
Koši-Lipšico teorema
seka determinizmo idėja:
ji sako, kad šie taškai
nusako būsimas trajektorijas.
Pradedant kiekvienu tašku
gausime vienintelę trajektoriją,
kurios pradinis taškas yra būtent duotasis.
Kiekvienas taškas turi savo likimą,
skirtingą kiekvienam...
Lego žmogus pasitinka savo lemtį!
Jis gali sekti tik savo kelią
ir todėl du keliai
niekada nekirs vienas kito.
Trajektorijos radimas
turint informaciją
apie vektorinį lauką
yra integralinio skaičiavimo tikslas,
kuris yra priešingas
diferencialinio skaičiavimo tikslui.
O štai yra keli žaviai surikiuoti
Lego žmogeliukai.
Kaip maži kariai, nekantraujantys pradėti žygiuoti.
Jie pradeda.
Matote, kaip
pradinė tvarka yra sugriaunama.
Kartais yra sakoma, kad
nustatomas lauko srautas,
tarsi šie veikėjai
plūduriuotų upėje,
kiekvienas sekdamas savo srovės kursą.
Pagalvokite apie žmonijos srautą -
tai yra 7 milijardai Lego žmogeliukų, judančių Žeme.
Arba, pagalvokite apie neaprėpiamos daugybės
molekulių srautus Žemės atmosferoje.
Štai paprastas pavyzdys,
beveik naivus,
kuris parodys determinizmo silpnumą...
Stebėkite šį vektorinį lauką.
Subjektai, kaip matote, juda pirmyn.
Esantys į kairę nuo centrinės linijos
suka į kairę,
o esantys į dešinę nuo jos -
suka į dešinę.
Tam tikra prasme determinizmas veikia:
kiekvienas turi savo lemtį,
kurios negali valdyti.
Tačiau kitavertus,
du žmogeliukai, esantys labai arti vienas kito,
turi labai skirtingus likimus.
Mažas dalykas,
bet gali daug pakeisti.
Šioje mažoje knygoje, "Matter and Motion" (lt. ,,Medžiaga ir judesys''),
išleistoje 1876,
škotų fizikas Maksvelas reikalauja
prasmingumo pradinėms sąlygoms,
kai nagrinėjame gamtos reiškinius.
Štai ką jis rašo:
,,Yra principas, kuris teigia,
kad tos pačios priežastys duos tas pačia pasekmes [...].
Yra ir kitas principas,
kuris negali kirstis su pirmuoju.
Jis teigia, kad
panašios priežastys duos panašias pasekmes.
Tai yra tiesa tik tada,
kai mažos variacijos
pradinėse sąlygose duoda tik
mažus pasikeitimus
galutinėje sistemos būsenoje.
Tai yra patvirtinama daugybės reiškinių,
tačiau yra ir tokių, kuriems
mažas pokytis pradžioje
reiškia didžiulius pokyčius pabaigoje.''
Pavyzdžiui, mažas skirtumas
automobilio greityje
gali sukelti nelaimingą atsitikimą.
Ši ateities priklausomybė nuo
pradinių sąlygų
yra vienas iš chaoso aspektų!
Tačiau yra daugybė kitų, sudėtingesnių situacijų...
Įsivaizduokime vektorinį lauką,
kuris yra nupieštas ne ant žemės,
bet erdvėje.
Tai yra ką jūs matote
ant vertikalios plokštumos,
judančios pirmyn ir atgal.
Dabar Lego žmonės nebevaikšto -
jie skraido erdvėlaiviais!
Kiekvieną akimirką, jų greitis
yra nusakomas vektorinio lauko.
Žiūrėkite, kas nutiks mūsų nelaimingiesiems žmogeliukams!
Tai yra dar labiau chaotiška!
Įsivaizduokite Lego žmogų-pranašą:
tai neįmanoma tokiuose Amerikietiškuose kalneliuose!
Jo pranašystės bus apgaunančios.
Kur jis bus po valandos?
Niekas nežino!
Skraidytojo ateitį numatyti yra sunku.
Įsivaizduokite, kaip tuomet yra nelengva nuspėti tikro žmogaus ateitį!