カオス２ レゴの競争
1676年10月26日，
アイザック・ニュートンは，
偉大なライバル，ライブニッツに手紙を書いた．
彼の最大の発見を知らせたいのだが，
同時にそれを
秘密にしておきたかった．
そこで彼は暗号文を送った：
«6a, 2c, d, ae, 13e, 2f, 7i, 3l, 9n, 4o, 4q, 2r, 4s, 8t, 12v, x».
ライブニッツにはこの暗号は読めなかったが，
科学史家達によって解読され，
このアナグラムに隠された
ラテン語の文がわかっている：
«Data aequatione quotcunque
fluentes quantitates involvente,
fluxiones invenire et vice versa.»
日本語では：
「任意個の変数を持つ
等式について，
微分を求められる．逆もできる．」
これは，微分法と積分法のことだ：
未来の予言に，信じられないほど有効な
水晶玉だ．
１つのシステムの現在の状態と，
そこに働く力を知っていれば，
これによって，
未来の運動が計算できるのだ．
微分方程式を解き，
解を求めるということだ．
レゴの世界で見てみよう．
結局のところ，
数学の世界はゲームに似ていて，
すべてが現実のものより単純化されている．
子供じみた世界になることもあるのだ．
足跡が表しているのは，
運動選手達の
通った道，
彼らの軌道だ．
この世界の人たちは
同じリズムで歩いているとしよう．
しかし，歩幅は広かったり，
狭かったりするとしよう．
レゴが速く動くときは，
足跡の歩幅は広がっている．
レゴがゆっくり動くときは，歩幅は狭くなっている．
足跡を順に結ぶ矢印が，
速度を表している．
これは，現在の位置と
次の時刻の位置との差である．
微分法differential calculusは
差の計算の意味である．
レゴの100メートル競走だ．
勝つのは誰だろう？
９秒５８！すごい！
さて，運動が，
ぎくしゃくしたものであることは，めったにない．
これらの車が走るのを見てごらん：
車輪が回って走っていて，
１歩１歩動いているのではない！
車の速度とは何だろうか？
１つの考え方は，このビデオの１秒は
25コマから
なっているので，
このバイクは毎秒25歩で
動いていると考えることである．
そうすると，レゴの選手の速度と
同じように速度が考えられる．
ニュートンは，連続的な運動が，
ぎくしゃくした動きの極限であると考えた．
ステップが段々狭くなって，
ビデオのように
ステップが見えなくなると考えた．
移動の速度の計算は，
微分の計算と呼ばれるものである．
その計算が，微分法の目標である．
運動の例をいくつか挙げよう．
矢印が速度を表している．
数学者は，この矢印をベクトルと呼んでいる．
今度は，逆向きの問題を考えよう．
地面全体に描かれた
矢印が見える．
ベクトル場というものだ．
麦畑があると思って，
麦の茎のかわりに，
ベクトルがあると思おう．
レゴ達は，
ベクトル場で指示された速度で
移動しなければならない．
簡単だ！
レゴ達は足元を見れば，
速度を指示する
ベクトルがあるから，
その速度で
１歩行くだけだ．
一瞬後にレゴ達は
新しい点に着いて，
そこで新しい速度が決まって，
それに従って１歩行く．
これを繰り返すだけだ．
歩くのは難しくない．
片足を反対の足より前に出す．
そしてそれを繰り返すだけだ．
本当は，
「一瞬後」とはどういう意味か
説明しなければならない．
ニュートンは，「無限に近い次の瞬間」
と答えるだろう．
連続な運動と
ステップのひとつながりが
違うことは前にみた．
連続な運動は，ステップが
どんどん細かくなるときの極限だ．
レゴのように跳ね回るのではなく，
連続に走る車に乗って
動こう．
車は軌道と呼ぶ
曲線を描く：
軌道はいたるところベクトル場に接している曲線だ．
平面上にベクトル場が与えられている．
２点を決めて，
それが２台のバイクの
出発点としよう．
コーシー・リプシッツの定理が，
決定論の考え方のまとめとなっている：
定理は，出発点が未来の軌道を
決定することを主張している．
各点に対し，
その点を出発点とする軌道が，
ただ１つ存在する．
それぞれの点がその運命を持っていて，
それぞれ違う．
レゴの人は自分の運命に向き合うのだ！
自分の軌道をたどることしかできないし，
２つの軌道は
決して出会わないのだ．
速度の場が
与えられたとき，
軌道を決定するためには，
積分法を用いる．
積分は，微分とは
反対向きのものである．
さて，レゴの部隊がいる．
兵士のように隊列を組んで，
出発準備完了だ．
さあ歩き出した．
初めのきれいな隊列が
くずれていく．
よく，ベクトル場がフローを定める
という言い方をする．
これらの登場人物が川の流れに浮かんでいて，
それぞれがその場所の流れに
流されているように見えるからだ．
人類の流れを考えてみよう．
70億のレゴたちが地球上を動いている．
地球の大気の，10億の10億倍の10億倍の
分子の流れを想像してみよう．
ここに，
決定論の弱点がわかる，
素朴と言って良い簡単な例がある．
このベクトル場を観察しよう．
レゴ達は前に進んでいるが，
中央の線の左側のレゴは
左に分かれて曲がっていき，
線の右側のレゴは
右に分かれて曲がっていく．
ある意味で，決定論は成立している：
どのレゴも，自分では変えることのできない運命に
従っている．
しかし一方で，
非常に近くにいる２つのレゴが，
まったく異なる運命を持っている．
ちょっとした事が
未来を完全に変えてしまうのである．
物理学者マックスウェルは
1876年に出版された著書
「物質と運動」で，物理現象が
初期条件の変化に鋭敏に応答することを
強調している．
こんなふうに書いている：
「ある格言によれば，
同じ原因は常に同じ結果を生む［…］．
この格言と混同してはいけない
別の格言によれば，
同じような原因は
同じような結果を生む．
このことが正しいのは，
初期状態における小さな変化が
システムの最終状態に
小さな変化しか
引き起こさないときだけである．
多くの場合にこの条件は満たされているが，
そうでない場合もあって，そのときには，
初期状態における小さな変化がシステムの最終状態に
非常に大きな変化を引き起こしうるのである．」
例えば，車の速度の
ほんの少しの差が
事故の原因になりうるのだ．
このような，未来の
初期条件への依存性は，
カオスの一面に過ぎない．
もっとずっと複雑な状況もある．
例えば，地面ではなく
空間に描かれた
ベクトル場を考えよう．
これは，徐々に後ろに動いていく
垂直な平面の上での
ベクトル場の様子である．
今度はレゴ達は歩くのではなく，
宇宙船に乗って飛び回る．
各時刻での速度は
ベクトル場で定められている．
気の毒なレゴ達がどうなるか見てみよう．
これはもっとずっとカオス的だ！
占い師をしようと思う
レゴがいたとする．
こんなジェットコースターではとても無理だ：
彼の予言は人をだますだけだろう．
１時間後に彼はどこにいるだろう？
全くわからない．
１個のレゴの未来を予言するのが難しいのだから，
一人の人間の未来を予言することは思いもよらないのだ！