CAOS 2- La corsa dei lego
Il 26 ottobre 1676,
Isaac Newton scriveva una lettera
al suo grande concorrente Leibniz.
Vuole evocare la sua più grande scoperta
ma allo stesso tempo
vuol tenerla segreta.
Allora gli invia un rebus:
«6a, 2c, d, ae, 13e, 2f, 7i, 3l, 9n, 4o, 4q, 2r, 4s, 8t, 12v, x».
Leibniz non decifrò mai questo messaggio
ma gli storici della scienza
son riusciti a decriptare la frase latina
che si nascondeva nell'anagramma:
«Data aequatione quotcunque
fluentes quantitates involvente,
fluxiones invenire et vice versa.»
In italiano:
«Data un'equazione che
metta in gioco delle variabili,
trovare le sue derivate e viceversa.»
Si tratta del calcolo differenziale e integrale:
una sfera di cristallo incredibilmente efficace
per predire l'avvenire.
Permette di calcolare
il futuro movimento di un sistema
conoscendo il suo stato attuale
e le forze che gli sono applicate.
Diciamo che si risolve un'equazione differenziale
o che si trovano le sue soluzioni.
Osserviamo tutto questo nel mondo dei lego.
Dopo tutto, il mondo matematico
è un po' un gioco, dove tutto è più semplice
rispetto alla vita reale.
Un mondo a volte infantile.
Le orme dei piedi
indicano il cammino seguito
dagli atleti,
le loro traiettorie.
Supponiamo che i nostri omini
facciano dei passi con cadenza regolare
ma che tali passi siano a volte grandi
e a volte più piccoli.
Quando il lego va veloce,
due orme consecutive sono distanziate.
Quando va lento, esse sono ravvicinate.
La freccia che unisce due passi consecutivi
indica la velocità.
È in qualche modo
la differenza delle posizioni
a due istanti consecutivi.
Da cui la parola «calcolo differenziale».
I lego corrono i cento metri.
Chi vincerà?
9'58! Complimenti!
A dire il vero,
un movimento è costituito raramente
da passi scanditi a scatti.
Per esempio potete vedere delle automobili scorrere:
le macchine scorrono, non camminano.
Che senso ha assegnare loro delle velocità?
Un idea consiste nel dire che dopo tutto
questo filmato è costituito
da 25 immagini al secondo,
cosicché è lecito pensare
che la moto compia 25 passi ad ogni secondo.
E possiamo dunque parlare della sua velocità,
così come parliamo della velocità del lego.
Newton considera ogni movimento continuo
come una specie di limite
di movimenti a scatti,
ma in cui i passi diventano talmente piccoli
che non li si distingue più, come al cinema.
Calcolare la velocità di uno spostamento,
è quel che si chiama calcolare una derivata.
È lo scopo del calcolo differenziale
Ecco dei movimenti.
Queste frecce che indicano le velocità,
i matematici le chiamano vettori.
Ora, immaginiamo il problema inverso.
Potete vedere delle frecce disegnate
un po' ovunque sul pavimento.
Lo chiamiamo un campo vettoriale.
Immaginate un campo di grano,
ma al posto di una spiga,
avete un vettore.
Il compito dei lego
è spostarsi con la velocità
indicata dal campo vettoriale.
Facile, mi direte!
Guardano sotto ai loro piedini,
vedono un vettore
che indica loro la propria velocità.
Allora partono verso tale direzione
con questa velocità.
Un piccolissimo istante dopo,
sono arrivati in un nuovo punto
con una nuova velocità.
Allora partono in una nuova direzione,
e ricominciano.
Camminare, non è difficile
basta mettere un piede dopo l'altro
e ricominciare.
In realtà,
bisognerebbe spiegare cosa significhi
«un piccolissimo istante dopo».
E la risposta di Newton sarebbe:
«un instante infinitamente breve».
L'abbiamo potuto vedere
un movimento continuo non è lo stesso
che una sequenza di passi.
È un limite
quando i passi diventano sempre più piccoli.
Invece di saltellare come un lego,
prendete dunque una macchina
che procede con continuità.
Si può allora descrivere
quel che si dice una traiettoria:
una curva ovunque tangente al campo vettoriale.
Avete un campo vettoriale nel piano
e due punti,
che pensiamo essere le posizioni iniziali
delle due moto.
Il teorema di Cauchy-Lipschitz
racchiude il concetto di determinismo:
esso afferma che le posizioni iniziali
determinano le traiettorie future.
Partendo da un punto,
vi è una sola traiettoria
che ha come posizione iniziale il punto dato.
Ogni punto ha il suo destino,
e per ognuno è diverso.
Il lego di fronte al suo destino!
Può soltanto seguire la sua traiettoria,
e di conseguenza due traiettorie
non possono mai incrociarsi.
Determinare la traiettoria
dalla conoscenza
del suo campo vettoriale,
è il compito del calcolo integrale,
che va così nel senso opposto
al calcolo differenziale.
Ed ecco un gruppo di lego,
tutti in fila
come dei soldatini pronti a partire.
Eccoli in marcia.
Vedete che il bell'ordine iniziale
si è infranto.
Diciamo a volte che si determina
il flusso di un campo,
un po' come se tutti questi omini
fluissero in un fiume,
seguendo il corso della corrente.
Pensate al flusso dell'umanità,
questi sette miliardi di lego che scorrono sulla Terra,
oppure pensate al flusso di miliardi di miliardi
di miliardi di molecole dell'atmosfera terrestre.
Ecco un semplicissimo esempio,
quasi ingenuo,
che ci mostrerà la debolezza del determinismo.
Guardate questo campo vettoriale.
I lego avanzano e come potete vedere,
quelli che si trovano a sinistra della linea centrale
biforcano a sinistra,
e così quelli che si trovano a destra
biforcano a destra.
In un senso, il determinismo è valido:
ogni omino segue il suo destino
sopra il quale non ha alcun potere.
Ma d'altra parte,
due lego vicinissimi
hanno dei destini diversissimi.
Una piccola minuzia
può cambiare completamente il futuro.
Nel suo libro «Matter and Motion»,
apparso nel 1876,
il fisico Maxwell insiste
sulla sensibilità alle condizioni iniziali
nei fenomeni fisici.
Ecco quello che scrive:
«C'è una massima secondo la quale
le stesse cause producono sempre gli stessi effetti [...].
Ma c'è un'altra massima
che non si deve confondere con la prima:
che due cause simili
producono degli effetti simili.
Questo è vero solamente quando
delle piccole variazioni
sulle circostanze iniziali
producono soltanto delle piccole variazioni
sullo stato finale del sistema.
Questo è vero in molti fenomeni fisici,
ma ce ne sono altri per i quali
una piccola variazione iniziale può produrre
un grandissimo cambiamento sullo stato finale.»
Come per esempio una piccola differenza
di velocità per una macchina
può provocare un incidente.
Questa dipendenza del futuro
alle condizioni iniziali
è soltanto uno degli aspetti del caos.
Ma ci sono delle situazioni molto più complesse.
Immaginate per esempio un campo vettoriale
che non è più segnato sul pavimento
ma nello spazio.
Per esempio, questo qui
che potete vedere su dei piani
che indietreggiano progressivamente.
Ora i nostri lego non camminano più
ma volano nelle loro navicelle spaziali.
E ad ogni istante, le loro velocità
sono date dal loro campo vettoriale.
Guardate che succede ai nostri poveri lego.
Molto più caotico!
Immaginate un lego
che vorrebbe essere un indovino.
Impossibile con delle simili montagne russe:
le sue predizioni non sarebbero che delle bugie.
Dove starà tra un ora?
Niente potrà mai predirlo.
Se è difficile predire l'avvenire d'un lego,
immaginate allora l'avvenire di un essere umano!