Κεφάλαιο 2 - Ο αγώνας των Lego
Στις 26 Οκτωβρίου 1676
ο Ισαάκ Νεύτωνας γράφει ένα γράμμα
στον μεγάλο του αντίπαλο, τον Leibniz.
Θέλει να του πει για τη μεγαλύτερη ανακάλυψή του,
αλλά ταυτόχρονα
θέλει να το κρατήσει και μυστικό,
οπότε στέλνει έναν γρίφο:
«6a, 2c, d, ae, 13e, 2f, 7i, 3l, 9n, 4o, 4q, 2r, 4s, 8t, 12v, x».
Ο Leibniz δεν κατάφερε να αποκωδικοποιήσει το μήνυμα,
αλλά οι ιστορικοί της επιστήμης
εν τέλει αποκρυπτογράφησαν
τη Λατινική φράση που ήταν κρυμμένη στο ανάγραμμα:
«Data aequatione quotcunque
fluentes quantitates involvente,
fluxiones invenire et vice versa.»
Στα ελληνικά:
«Δοθείσης μιας εξίσωσης
με όποιον αριθμό μεταβλητών,
βρες τις παραγώγους της, και αντιστρόφως.»
Αυτό είναι λογισμός:
μια κρυστάλλινη σφαίρα τρομερά αποτελεσματική
στο να προβλέπει το μέλλον.
Σου επιτρέπει να υπολογίσεις
τη μελλοντική κίνηση ενός συστήματος
όταν γνωρίζεις την παρούσα κατάστασή του
και τις δυνάμεις που το επηρεάζουν.
Λύνεις μια διαφορική εξίσωση
και βρίσκεις τις λύσεις.
Ας το δούμε αυτό στον κόσμο των Lego.
Άλλωστε, ο μαθηματικός κόσμος
είναι λίγο σαν παιχνίδι,
όπου τα πάντα είναι απλούστερα απ’ ότι στην πραγματική ζωή.
Ένας κόσμος που μερικές φορές είναι παιδαριώδης.
Οι πατημασιές υποδεικνύουν
τα μονοπάτια που ακολουθούν
οι αθλητές,
τις τροχιές τους.
Ας υποθέσουμε ότι οι μικροσκοπικοί μας άνθρωποι
κάνουν βήματα με σταθερό ρυθμό,
αλλά ότι αυτά τα βήματα είναι άλλοτε μεγάλα
κι άλλοτε μικρά.
Όταν τα Lego πηγαίνουν γρήγορα,
δύο διαδοχικές πατημασιές απέχουν περισσότερο.
Όταν πηγαίνουν αργά, απέχουν λιγότερο.
Το βέλος που ενώνει δύο διαδοχικά βήματα
υποδηλώνει την ταχύτητα:
είναι η διαφορά
ανάμεσα σε δύο θέσεις
σε δυο διαδοχικές στιγμές,
εξ ου και ο όρος «διαφορικός λογισμός».
Ο δρόμος των εκατό μέτρων.
Ποιος θα κερδίσει;
9'58 ", σπουδαία!
Τώρα, η κίνηση
σπανίως αποτελείται
από απότομα βήματα.
Κοιτάξτε αυτά τα κινούμενα αυτοκίνητα:
Τσουλάνε, δεν κάνουν βήματα!
Τι εννοούμε τότε όταν λέμε ταχύτητα;
Μια ιδέα είναι να πούμε ότι, τελικά,
αυτή η ταινία αποτελείται
από 25 καρέ το δευτερόλεπτο
οπότε κάποιος μπορεί να πει
πει ότι η μοτοσυκλέτα κάνει 25 «βήματα» το δευτερόλεπτο!
Και μπορούμε να μιλήσουμε για την ταχύτητά της,
όπως όταν μιλούσαμε για τους δρομείς Lego.
Ο Νεύτωνας προσεγγίζει κάθε συνεχή κίνηση
με μια αλληλουχία
από βηματικές κινήσεις,
αλλά με βήματα που γίνονται
τόσο μικρά ώστε να καθίστανται αόρατα, όπως στις ταινίες.
Ο υπολογισμός της ταχύτητας μιας κίνησης
λέγεται υπολογισμός της παραγώγου.
Είναι ο στόχος του «διαφορικού λογισμού».
Να κάποιες κινήσεις.
Αυτά τα βέλη υποδεικνύουν την ταχύτητα,
και οι μαθηματικοί τα λένε διανύσματα.
Τώρα φανταστείτε το αντίθετο πρόβλημα.
Βλέπετε βέλη
ζωγραφισμένα στο πάτωμα.
Αυτό το λέμε διανυσματικό πεδίο.
Φανταστείτε ένα χωράφι με σιτάρι...
Αλλά αντί για στάχυα
έχετε διανύσματα.
Η αποστολή των Lego
είναι να κινηθούν με την ταχύτητα
που υποδεικνύεται από το διανυσματικό πεδίο.
Εύκολο, λέτε!
Κοιτάζουν κάτω από τα πόδια τους,
βλέπουν ένα διάνυσμα
που τους λέει την ταχύτητά τους,
και μετά ξεκινάνε προς αυτήν την κατεύθυνση
με αυτήν την ταχύτητα.
Λίγο μετά
έχουν φτάσει σε ένα νέο σημείο
με μια νέα ταχύτητα,
και πάνε προς μια νέα κατεύθυνση
και το κάνουν αυτό ξανά και ξανά.
«Το περπάτημα δεν είναι δύσκολο.
Απλώς βάλε το ένα πόδι μπροστά απ’ το άλλο
και ξανακάν’ το!»
Για να λέμε την αλήθεια,
θα ‘πρεπε να εξηγήσουμε τι εννοούμε
«λίγο μετά»!
Η απάντηση του Νεύτωνα θα ήταν:
«Απειροελάχιστα λίγο μετά.»
Είδαμε ήδη ότι
η συνεχής κίνηση δεν είναι το ίδιο
με μια αλληλουχία βημάτων:
Είναι αυτό που έχουμε
όταν τα βήματα γίνονται όλο και μικρότερα.
Οπότε, αντί να χοροπηδάτε σαν Lego,
πάρτε ένα αυτοκίνητο
που κινείται συνεχώς.
Θα ακολουθήσετε
αυτό που λέμε τροχιά:
Μια καμπύλη που εφάπτεται στο διανυσματικό πεδίο παντού.
Εδώ έχουμε ένα διανυσματικό πεδίο στο επίπεδο,
και δύο σημεία τα οποία είναι
οι αρχικές θέσεις
δύο μοτοσυκλετών.
Το θεώρημα των Cauchy-Lipschitz
συνοψίζει την έννοια του ντετερμινισμού:
Ισχυρίζεται ότι αυτά τα σημεία
καθορίζουν τις μελλοντικές τροχιές.
Ξεκινώντας από κάθε σημείο,
υπάρχει μια μοναδική τροχιά
για την οποία το δεδομένο σημείο είναι το αρχικό της.
Κάθε σημείο έχει το πεπρωμένο του,
Διαφορετικό για το καθένα...
Το Lego αντιμέτωπο με το πεπρωμένο του!
Το μόνο που μπορεί να κάνει είναι να ακολουθήσει την τροχιά του,
και δύο τροχιές
δεν μπορούν ποτέ να διασταυρώνονται.
Ο προσδιορισμός της τροχιάς
από τη γνώση
του πεδίου των ταχυτήτων
είναι δουλειά του ολοκληρωτικού λογισμού,
ο οποίος οπότε μας πάει προς την αντίθετη
κατεύθυνση από τον διαφορικό...
Και να μια ομάδα από ανθρωπάκια Lego,
στοιχισμένα όμορφα
σαν στρατιωτάκια, έτοιμα να ξεκινήσουν το περπάτημα.
Ξεκινάνε.
Βλέπετε ότι η όμορφη
αρχική τάξη τους χαλάει.
Μπορούμε να καταλάβουμε
τη ροή του πεδίου αν φανταστούμε
όλα αυτά τα ανθρωπάκια
να πλέουν σε ένα ποτάμι,
όπου το καθένα ακολουθεί τη δική του πορεία μέσα στο ρεύμα.
Σκεφτείτε τη ροή των ανθρώπων,
αυτά τα επτά δισεκατομμύρια Lego που κινούνται πάνω σ’ όλη τη Γη,
ή σκεφτείτε τη ροή των δισεκατομμυρίων δισεκατομμυρίων
δισεκατομμυρίων ατόμων στην ατμόσφαιρα της Γης.
Να ένα απλό παράδειγμα,
σχεδόν αφελές,
που θα μας υποδείξει μια αδυναμία του ντετερμινισμού...
Παρατηρήστε αυτό το διανυσματικό πεδίο.
Τα ανθρωπάκια προχωρούν και, όπως βλέπετε,
αυτά που είναι αριστερά της κεντρικής γραμμής
στρίβουν αριστερά
και αυτά που είναι δεξιά
στρίβουν δεξιά.
Κατά κάποιον τρόπο ο ντετερμινισμός ισχύει:
Τα πάντα ακολουθούν το πεπρωμένο τους
το οποίο δεν ελέγχουν.
Αλλά, από την άλλη,
δυο άνθρωποι που βρίσκονται πολύ κοντά
έχουν πολύ διαφορετικά πεπρωμένα.
Κάτι πολύ μικρό
μπορεί να αλλάξει το μέλλον.
Στο βιβλίο του «Ύλη και Κίνησις»,
που εκδόθηκε το 1876,
ο φυσικός Maxwell τονίζει
την ευαισθησία των φυσικών φαινομένων
στις αρχικές συνθήκες.
Να τι γράφει:
«Υπάρχει ένα ρητό...
ότι η ίδια αιτία πάντα θα παράγει τα ίδια αποτελέσματα [...]
Υπάρχει και ένα άλλο ρητό,
που δεν πρέπει να το συγχέουμε με το πρώτο,
το οποίο ισχυρίζεται ότι
«παρόμοιες αιτίες παράγουν παρόμοια αποτελέσματα».
Αυτό ισχύει μόνο όταν
μικρές μεταβολές στις αρχικές συνθήκες
παράγουν μικρές μεταβολές
στην τελική κατάσταση
του συστήματος.
Σε πάρα πολλά φυσικά φαινόμενα
αυτή η συνθήκη ικανοποιείται. Αλλά υπάρχουν άλλες
περιπτώσεις, στις οποίες μια μικρή μεταβολή μπορεί
να επιφέρει τεράστια αλλαγή στην τελική κατάσταση του συστήματος.»
Για παράδειγμα, μια μικρή διαφορά
ταχύτητα ενός αυτοκινήτου
μπορεί να προκαλέσει ατύχημα.
Αυτή η εξάρτηση του μέλλοντος
από τις αρχικές συνθήκες
είναι μόνο μία όψη του χάους!
Αλλά υπάρχουν πολύ πιο περίπλοκες καταστάσεις ...
Φανταστείτε, για παράδειγμα, ένα διανυσματικό πεδίο
που δεν είναι ζωγραφισμένο στο έδαφος,
αλλά στον χώρο.
Αυτό, για παράδειγμα,
που βλέπετε σε ένα κατακόρυφο επίπεδο
που κινείται μπρος – πίσω.
Τώρα τα Lego μας δεν περπατάνε:
Πετάνε με τα διαστημόπλοιά τους!
Κάθε στιγμή η ταχύτητά τους
προσδιορίζεται από το διανυσματικό πεδίο.
Δείτε τι παθαίνουν τα καημένα τα Lego!
Αυτό είναι πολύ πιο χαοτικό!
Φανταστείτε ένα Lego μάντη:
αδύνατο σε τέτοιο χάος:
Οι προβλέψεις του δεν θα ήταν παρά απάτη.
Πού θα είμαστε σε μια ώρα;
Κανείς δεν ξέρει!
Αν είναι δύσκολο να προβλέψουμε το μέλλον ενός Lego,
φανταστείτε να προβλέψουμε το μέλλον ενός ανθρώπου!