CHAOS2- La course des legos
Le 26 octobre 1676,
Issac Newton écrivait une lettre
à son grand concurrent Leibniz.
Il veut évoquer sa plus grande découverte
mais il veut en même temps
la garder secrète.
Alors il envoie un rébus :
«6a, 2c, d, ae, 13e, 2f, 7i, 3l, 9n, 4o, 4q, 2r, 4s, 8t, 12v, x».
Leibniz n'a pas décodé ce message
mais les historiens des sciences
ont fini par décrypter la phrase latine
qui se cachait dans l'anagramme :
«Data aequatione quotcunque
fluentes quantitates involvente,
fluxiones invenire et vice versa.»
En français :
«Étant donné une équation
mettant en jeu des variables,
trouver ses dérivées et vice versa.»
Il s'agit du calcul différentiel et intégral :
une boule de cristal incroyablement efficace
pour prédire l'avenir.
Il permet de calculer
le mouvement futur d'un système
lorsqu'on connaît sa situation présente
et les forces qui lui sont appliquées.
On dit qu'on résout une équation différentielle
ou qu'on trouve ses solutions.
Voyons cela dans le monde des legos.
Après tout, le monde mathématique
est un peu comme un jeu, où tout est plus simple
que dans la vie réelle.
Un monde parfois enfantin.
Les traces de pieds
indiquent les chemins suivis
par les athlètes,
leurs trajectoires.
Supposons que nos bonhommes
fassent des pas à une cadence régulière
mais que ces pas soient parfois grands
et parfois plus petits.
Lorsque le lego va vite,
deux traces consécutives sont éloignées.
Lorsqu'il va lentement, elles sont rapprochées.
La flèche qui joint deux pas consécutifs
indique la vitesse.
Elle est en quelque sorte
la différence des positions
à deux instants consécutifs.
D'où le mot «calcul différentiel».
Les legos font un cent mètres.
Qui va gagner ?
9'58 ! Bravo !
À vrai dire,
un mouvement est rarement constitué
de pas saccadés.
Vous voyez par exemple ces voitures qui roulent :
elles roulent, elles ne marchent pas.
Quel sens donner à leurs vitesses ?
Une idée consiste à dire qu'après tout
ce film est constitué
de 25 images par seconde,
si bien qu'on peut en effet penser
que la moto fait 25 pas chaque seconde.
Et on peut donc parler de sa vitesse
comme nous parlions de la vitesse du lego.
Newton considère tout mouvement continu
comme une espèce de limite
de mouvements saccadés,
mais dont les pas deviennent si petits
qu'on ne les perçoit plus, comme au cinéma.
Calculer la vitesse d'un déplacement,
c'est ce qu'on appelle calculer une dérivée.
C'est le but du calcul différentiel.
Voici quelques mouvements.
Ces flèches qui indiquent la vitesse,
les mathématiciens les appellent des vecteurs.
Maintenant, imaginons le problème inverse.
Vous voyez des flèches dessinées
un peu partout sur le sol.
On parle d'un champ de vecteurs.
Imaginez un champ de blé
mais à la place d'une tige portant le blé,
vous avez un vecteur.
La mission des legos
est de se déplacer avec une vitesse
qui est indiquée par le champ de vecteurs.
Facile, me direz-vous !
Ils regardent sous leurs pieds,
ils y voient un vecteur
qui leur donne leurs vitesses.
Alors ils partent dans cette direction
avec cette vitesse.
Un tout petit instant plus tard,
ils sont arrivés en un nouveau point
avec une nouvelle vitesse.
Alors ils partent dans une nouvelle direction,
et ils recommencent.
La marche à pieds, ce n'est pas difficile
il suffit de mettre un pied devant l'autre
et de recommencer.
À vrai dire,
il faudrait expliquer ce que veut dire
«un tout petit instant plus tard».
Et la réponse de Newton serait :
«un instant infiniment proche».
Nous l'avons vu
un mouvement continu n'est pas la même chose
qu'une succession de pas.
C'est une limite
quand les pas deviennent de plus en plus petits.
Plutôt que de sautiller comme un lego,
prenez donc une voiture
qui roule de manière continue.
Alors, vous décrivez
ce qu'on appelle une trajectoire :
une courbe partout tangente au champ de vecteurs.
Vous avez un champ de vecteurs dans le plan
et deux points,
qu'on pense comme les positions initiales
des deux motos.
Le théorème de Cauchy-Lipschitz
résume le concept de déterminisme :
il affirme que cela détermine
les trajectoires futures.
Partant de chaque point,
il y a une unique trajectoire
dont la position initiale est le point donné.
Chaque point a sa destinée,
différente pour chacun.
Le lego face à son destin !
Il ne peut que suivre sa trajectoire,
et donc deux trajectoires
ne peuvent jamais se croiser.
Déterminer la trajectoire
à partir de la connaissance
de son champ de vitesse,
c'est le travail du calcul intégral,
qui va ainsi dans le sens opposé
du calcul différentiel.
Et voici un groupe de legos,
bien rangés
comme des petits soldats prêts à partir.
Les voilà en marche.
Vous voyez que le bel ordre initial
a été rompu.
On dit parfois qu'on détermine
le flot du champ,
un peu comme si tous ces personnages
flottaient sur un fleuve,
au fil du courant, chacun suivant son cours.
Pensez au flot de l'humanité,
ces sept milliards de legos glissant sur la Terre,
ou pensez au flot des milliards de milliards
de milliards de molécules de l'atmosphère terrestre.
Voici un exemple tout simple,
presque naïf,
qui va nous montrer une faiblesse du déterminisme.
Regardez ce champ de vecteurs.
Les legos avancent et vous voyez,
ceux qui sont à gauche de la ligne centrale
bifurquent à gauche,
et de même ceux qui sont à droite
bifurquent à droite.
Dans un sens, le déterminisme est valide :
chacun suit sa destinée
sur laquelle il n'a aucune prise.
Mais d'un autre côté,
deux legos très voisins
ont des destinées très différentes.
Une toute petite chose
peut changer complètement le futur.
Dans son livre «Matter and Motion»,
paru en 1876,
le physicien Maxwell insiste
sur la sensibilité aux conditions initiales
dans les phénomènes physiques.
Voici ce qu'il écrit :
«Il y a une maxime selon laquelle
les mêmes causes produisent les mêmes effets [...].
Mais il y a une autre maxime
qu'il ne faut pas confondre :
que des causes semblables
produisent des effets semblables.
Cela est vrai uniquement
si de petites variations
sur les circonstances initiales
produisent de petites variations
sur l'état final du système.
Cela est vrai dans beaucoup de cas,
mais il y en a d'autres pour lesquels
une petite variation initiale peut produire
de grands changements dans l'état final.»
Comme par exemple une petite différence
dans la vitesse de la voiture
peut provoquer un accident.
Cette dépendance du futur
aux conditions initiales
n'est que l'un des aspects du chaos.
Mais il y a des situations bien plus complexes.
Imaginez par exemple un champ de vecteurs
qui n'est plus tracé sur le sol
mais dans l'espace.
Par exemple, celui-ci
que vous voyez sur des plans
qui reculent progressivement.
Maintenant nos legos ne marchent plus
mais ils volent dans leurs vaisseaux spatiaux.
Et à chaque instant, leurs vitesses
sont données par ce champ de vecteurs.
Voyez ce qui arrive à nos malheureux legos.
Autrement plus chaotique !
Imaginez un lego
qui voudrait être devin.
Impossible avec de telles montagnes russes :
ses prédictions ne seraient que des impostures.
Où sera-t-il dans une heure ?
Nul ne pourra jamais le prédire.
S'il est difficle de prévoir l'avenir d'un lego,
alors imaginez l'avenir d'un être humain !