CAOS, Capítulo 2. El libre albedrío
El 26 de octubre de 1676,
Isaac Newton escribió una carta
a su gran rival Leibniz.
Quería contarle de su más grande descubrimiento,
pero, al mismo tiempo,
quería mantenerlo en secreto,
así que le envió un acertijo:
«6a, 2c, d, ae, 13e, 2f, 7i, 3l, 9n, 4o, 4q, 2r, 4s, 8t, 12v, x».
Leibniz no decodificó el mensaje.
Sin embargo, historiadores de la Ciencia
descifraron la frase en latín
que se escondía en el anagrama:
«Data aequatione quotcunque
fluentes quantitates involvente,
fluxiones invenire et vice versa.»
En español:
«Dada una ecuación
en cualquier número de variables,
encontrar su derivada, y vice versa.»
Esto es el cálculo diferencial e integral:
una bola de cristal que es increíblemente efectiva
para predecir el futuro.
Permite calcular
el movimiento futuro de un sistema
cuando conoces su estado presente
y las fuerzas que lo afectan.
Decimos que resolvemos una ecuación diferencial
o que encontramos sus soluciones.
Veamos esto en el mundo de los juguetes.
Después de todo, el mundo matemático
es un poco como un juego, donde todo es más simple
que en la vida real,
un mundo que, en ocasiones, es infantil.
Las huellas indican
los caminos seguidos
por los atletas,
sus trayectorias.
Supongamos que nuestros muñequitos
dan pasos a un ritmo constante
pero que en ocasiones el tamaño de los pasos es más largo
y en otras más corto.
Cuando el muñeco va rápido,
dos huellas consecutivas quedan lejos.
Cuando va lento, las huellas quedan cercanas.
La flecha que une dos huellas consecutivas
indica la velocidad:
es la diferencia
entre dos posiciones
en dos tiempos consecutivos,
de aquí el término «cálculo diferencial».
La carrera de los cien metros.
¿Quién ganará?
9,58 segundos, ¡genial!
Pero, en realidad
los movimientos rara vez
consisten de pasos.
Veamos los movimientos de los autos de carrera.
¡Ruedan, no dan pasos!
¿Qué es, entonces, la velocidad?
Una idea es decir que, después de todo,
esta película consta de
25 cuadros por segundo
y entonces podemos pensar
que ¡cada moto da 25 pasos cada segundo!
y podemos hablar de su velocidad,
como hablamos de la velocidad de los muñequitos.
Newton aproximó los movimientos continuos
como una secuencia de movimientos
paso a paso,
pero con pasos que se hacen tan cortos
que no se notan, como en las películas.
Calcular la velocidad del movimiento,
se llama «calcular una derivada».
Es el objetivo del cálculo diferencial.
He aquí algunos movimientos.
Estas flechas indican la velocidad,
y los matemáticos las llaman vectores.
Ahora, imagina el problema inverso.
Ves flechas
dibujadas en el piso.
A esto le llamamos un campo vectorial.
Imagina un campo de trigo,
pero con vectores
en lugar de tallos.
La misión de los muñecos
es moverse con la velocidad
indicada por el campo vectorial.
¡Se dice fácil!
Ven un vector
a sus pies
indicándoles su velocidad,
y entonces avanzan en esa dirección
y con esa velocidad.
Un pequeñísimo momento después,
han llegado a un nuevo punto
que tiene una nueva velocidad.
Entonces siguen con la nueva dirección
y así continúan una y otra vez.
Caminar no es difícil:
es solo poner un pie delante del otro
¡y volverlo a hacer!
A decir verdad,
debemos explicar a qué nos referimos con
«un pequeñísimo momento».
La respuesta de Newton sería
«un instante infinitamente pequeño».
Ya dijimos que
un movimiento continuo no es lo mismo
que una sucesión de pasos:
es el límite que obtienes
cuando los pasos se hacen más y más cortos.
Así que en lugar de saltar como los muñecos,
toma un auto
que se mueve continuamente.
Lo que estarás siguiendo
se llama trayectoria:
una curva que es tangente al campo vectorial en todas partes.
Aquí tienes un campo vectorial en el plano,
y dos puntos,
que son las posiciones iniciales
de las dos motos.
El teorema de Cauchy-Lipschitz
resume el concepto de determinismo.
Afirma que estos puntos
determinan las trayectorias futuras:
Empezando en cada punto,
existe una única trayectoria
cuya posición inicial es el punto dado.
Cada punto tiene su destino,
diferente del de los demás.
¡El muñeco enfrenta a su destino!
Sólo puede seguir su trayectoria,
y las trayectorias
nunca se cruzarán unas con otras.
Determinar la trayectoria
a partir del conocimiento
del campo vectorial
es el trabajo del cálculo integral,
que va en la dirección opuesta
a la del cálculo diferencial.
Aquí tenemos un grupo de muñecos,
bien ordenados,
como soldaditos listos para empezar a marchar.
Y aquí van.
Notarás que el orden original
se ha perdido.
En ocasiones decimos que el campo
determina un flujo,
como si estos personajes
estuvieran flotando en un río,
cada uno siguiendo su propio curso en la corriente.
Piensa en el flujo de la humanidad,
siete mil millones de muñecos moviéndose por toda la Tierra,
o piensa en el flujo de billones de billones
de billones de moléculas en la atmósfera de la Tierra.
He aquí un ejemplo simple,
casi ingenuo,
que nos mostrará una debilidad del determinismo.
Ve este campo vectorial.
Las figuras avanzan y, como puedes ver,
aquellos a la izquierda de la línea central
giran a la izquierda,
y, aquellos a la derecha,
giran a la derecha.
En un sentido, el determinismo es válido:
cada uno sigue su destino,
sobre el cual no tiene ningún control.
Pero por otro lado,
dos hombres muy cercanos
tienen destinos muy diferentes.
Algo pequeño
puede cambiar completamente el futuro.
En su libro «Matter and Motion»,
publicado en 1876,
el físico Maxwell hace hincapié en
la sensibilidad de los fenómenos físicos
a las condiciones iniciales.
Esto es lo que escribió:
«Hay una máxima que dice que
las mismas causas siempre producirán los mismos efectos [...].
Hay otra máxima,
que no debe ser confundida con la primera, que afirma que
causas similares
producen efectos similares.
La segunda sólo es cierta
cuando pequeñas variaciones
en las circunstancias iniciales
sólo producen variaciones pequeñas
en el estado final del sistema.
En muchos casos, esta condición se satisface,
pero hay otros casos en los que
una pequeña variación inicial
produce grandes cambios en el estado final del sistema.»
Por ejemplo, un pequeño cambio
en la velocidad de un auto
puede causar un accidente.
Esta dependencia del futuro
a las condiciones iniciales
es solamente uno de los aspectos del caos.
Pero hay muchas situaciones más complejas.
Imagina, por ejemplo, un campo vectorial
que no está trazado en el suelo,
sino en el espacio.
Por ejemplo, éste,
que ves sobre planos verticales
que se mueven.
Ahora nuestros juguetes no caminan,
¡vuelan en sus naves espaciales!
En cada momento, su velocidad
está dada por el campo vectorial.
¡Ve lo que les pasa a nuestros desafortunados juguetes!
¡Esto es mucho más caótico!
Imagina a un adivino
de juguete.
Sería imposible con tal montaña rusa:
sus predicciones serían decepcionantes.
¿Dónde estará en una hora?
¡Nadie podrá jamás predecirlo!
Si es difícil predecir el futuro de unos juguetes,
¡imagina predecir el futuro de un ser humano!