CHAOS 2 - Das Lego-Rennen
Am 26. Oktober 1676 hat
Isaac Newton einen Brief
an seinen großen Rivalen Leibniz geschrieben.
Er möchte über seine größte Entdeckung sprechen,
aber gleichzeitig
will er sie geheim halten.
Also sendet er folgendes Rätsel:
"6a, 2c, d, ae, 13e, 2f, 7i, 3l, 9n, 4o, 4q, 2r, 4s, 8t, 12v, x".
Leibniz hat diese Botschaft nicht dekodiert,
aber Wissenschaftler haben schließlich
den lateinischen Satz
entschlüsselt, der in dem Anagramm versteckt war:
«Data aequatione quotcunque
fluentes quantitates involvente,
fluxiones invenire et vice versa.»
Auf Deutsch:
"Gegeben eine Gleichung
mit einer beliebigen Anzahl von Variablen,
finden Sie ihre Derivate, und umgekehrt…"
Das ist Integral- und Differentialrechnung:
Eine Kristallkugel, die unglaublich
effizient die Zukunft voraussagt.
Mit ihr kann man die zukünftige
Bewegung eines Systems berechnen,
wenn man dessen gegenwärtigen Zustand
und die Kräfte kennt, die darin wirken.
Es geht darum eine Differentialgleichung zu lösen
und Lösungen zu finden.
Schauen wir uns das in der Welt der Lego-Menschen an.
Schließlich ist die mathematische Welt
ein bißchen wie ein Spiel,
in dem alles einfacher ist als im wirklichen Leben;
eine Welt die manchmal kindlich ist.
Die Fußspuren zeigen
die Wege an, denen die
Athleten folgen,
ihre Bahnen.
Nehmen wir an, dass unsere kleinen Kerle
in konstanter Geschwindigkeit Schritte machen,
aber dass diese Schritte manchmal groß
und machmal klein sind.
Wenn eine Legofigur schnell ist,
sind zwei aufeinanderfolgende Fußspuren weit auseinander.
Wenn sie langsam ist, sind sie dichter zusammen.
Der Pfeil, der zwei aufeinander folgenden Schritte verbindet,
zeigt die Geschwindigkeit an:
es ist die Differenz
zwischen zwei Positionen
in zwei aufeinander folgenden Momenten,
daher das Wort "Differentialrechnung".
Das 100m-Rennen.
Wer wird gewinnen?
9'58 ", großartig!
Nun, Bewegung
besteht selten aus ruckartigen Schritten.
Schauen Sie sich diese Rennwagen in Bewegung an:
Sie rollen, sie machen keine Schritte!
Was bedeutet denn Geschwindigkeit?
Eine Idee ist zu sagen,
der Film besteht ja
aus 25 Bildern pro Sekunden,
so dass man tatsächlich denken kann,
dass das Motorrad jede Sekunde 25 "Schritte" macht!
Und wir können über Geschwindigkeit reden,
genauso wie wir über die Geschwindigkeit der Lego-Läufer geredet haben.
Newton nähert eine stetige Bewegung
durch eine Folge
von schrittweisen Bewegungen an,
aber mit so kleinen Schritten,
dass sie unsichbar werden, wie im Film.
Die Geschwindigkeit einer Bewegung zu berechnen
bedeutet eine Ableitung zu berechnen.
Das ist das Ziel der "Differentialrechnung".
Hier sind einige Bewegungen.
Diese Pfeile zeigen die Geschwindigkeit an.
Mathematiker nennen sie Vektoren.
Nun stellen Sie sich das umgekehrte Problem vor.
Sie sehen Pfeile
auf den Boden gemalt.
Wir nennen das ein Vektorfeld.
Stellen Sie sich ein Weizenfeld vor ...
aber statt Weizenhalmen
mit Vektoren.
Die Aufgabe der Lego-Figuren ist
sich mit der Geschwindigkeit zu bewegen,
die vom Vektorfeld vorgegeben ist.
"Einfach!", werden Sie sagen.
Sie schauen unter ihre Füße,
sie sehen einen Vektor
der ihnen eine Geschwindigkeit anzeigt,
und sie gehen weiter in diese Richtung
mit dieser Geschwindigkeit.
Einen kleinen Moment später
erreichen sie einen neuen Punkt
mit einer neuen Geschwindigkeit,
und sie gehen weiter in die neue Richtung
und sie gehen immer so weiter.
Laufen ist nicht schwer.
Einfach einen Fuß vor den anderen setzen
und immer so weiter!
Allerdings sollten wir erklären,
was wir meinen mit einem
"kleinen Moment später".
Newtons Antwort wäre
"Ein unendlich kleiner Moment!"...
Wir haben bereits gesehen,
dass eine stetige Bewegung nicht dasselbe ist wie
eine Folge von Schritten:
Es ist das, was man erhält,
wenn die Schritte immer kleiner werden.
Also statt wie eine Lego-Figur zu hüpfen,
nehmen Sie ein Auto,
dass kontinuierlich fährt.
Sie werden einer
Bahn folgen;
einer Kurve, die überall tangential zum Vektorfeld ist.
Hier sehen Sie ein Vektorfeld in der Ebene,
und zwei Punkte, die
die Anfangspositionen von Motorrädern sind.
Der Satz von Cauchy-Lipschitz
fasst das Konzept des Determinismus zusammen:
Er behauptet, dass diese Punkte
die zukünftige Bahn bestimmen.
Ausgehend von jedem Punkt,
gibt es eine einzige Bahn
deren Anfangspunkt der gegebene Punkt ist.
Jeder Punkt hat seine Bestimmung,
jeder eine andere ...
Die Lego-Figur steht vor ihrem Schicksal!
Alles was sie tun kann, ist ihrer Bahn zu folgen,
und zwei Bahnen
können sich niemals kreuzen.
Die Bahnen zu berechnen
auf Grundlage
eines Vektorfelds
ist das Ziel der Intergralrechnung,
die das Gegenteil
der Differentialrechnung macht ...
Und hier ist eine Gruppe von Lego-Figuren,
schön ordentlich,
wie kleine Soldaten, bereit um loszulaufen.
Und los geht's.
Sie sehen, dass die schöne
ursprüngliche Ordnung verloren geht.
Es wird manchmal gesagt, dass
man den Fluss eines Feldes bestimmt,
so als ob diese Figuren
auf einem Fluss schwimmen würden,
jede ihrem Kurs in der Strömung folgend...
Denken Sie an den Fluss der Menschheit,
diese sieben Millarden Lego-Menschen, die sich auf der ganzen Erde bewegen,
oder denken Sie an die Bewegung von Millarden von Millarden
von Millarden Molekülen in der Atmosphäre der Erde.
Hier ist ein einfaches Beispiel,
fast naiv,
das uns eine Schwäche des Determinismus zeigen wird ...
Beobachten Sie dieses Vektorfeld.
Die Figuren bewegen sich vorwärts und, wie Sie sehen können,
die links von der Mittelline
wenden sich nach links
und die rechts
wenden sich nach rechts.
In gewisser Weise ist der Determinismus gültig:
jeder folgt seinem Schicksal,
über das er keine Kontrolle hat.
Aber andererseits
haben zwei Menschen, die ganz nahe beieinander liegen,
sehr unterschiedliche Schicksale.
Eine Kleinigkeit
kann die Zukunft völlig verändern.
In seinem kleinen Buch "Matter and Motion",
im Jahre 1876 veröffentlicht,
betont der Physiker Maxwell
die Empfindlichkeit der physikalischen
Phänomene gegenüber Anfangsbedingungen.
Hier ist, was er schreibt:
"Es gibt die Maxime, dass
die gleichen Ursachen immer die gleichen Wirkungen haben [...]
Es gibt eine weitere Maxime,
die man nicht mit der ersten verwechseln darf.
Sie besagt, dass
ähnliche Ursachen ähnliche Wirkungen haben.
Das gilt nur, wenn
kleine Abweichungen in den Anfangs-
bedingungen nur zu geringen
Veränderungen im Endzustand
des Systems führen.
Bei sehr vielen physikalischen Phänomenen
ist diese Bedingung erfüllt, aber es gibt andere
Fälle, in denen eine kleine Veränderung am Anfang
eine große Veränderung im Endzustande des Systems bewirken kann."
Zum Beispiel kann ein kleiner Unterschied
in der Geschwindigkeit eines Autos
einen Unfall verursachen.
Diese Abhängigkeit der
Zukunft von den Anfangsbedingungen
ist nur ein Aspekt des Chaos!
Aber es gibt sehr viel komplexere Situationen ...
Man stelle sich zum Beispiel ein Vektorfeld vor,
das nicht mehr auf den Boden gezeichnet ist,
sondern im Raum.
Dieses hier zum Beispiel,
dass Sie auf einer vertikalen Ebene
sich hin und her bewegen sehen.
Jetzt gehen unsere Lego-Figuren nicht zu Fuß:
sie fliegen in Raumschiffen!
In jedem Moment wird ihre Geschwindigkeit
durch das Vektorfeld bestimmt.
Sehen Sie, was mit unseren armen Lego-Figuren passiert!
Das ist viel chaotischer!
Stelle Sie sich einen Lego-Menschen als Wahrsager vor:
unmöglich bei so einer Achterbahn:
Seine Vorhersagen wären bloß Hochstapelei.
Wo er in einer Stunde sein wird?
Niemand wird es jemals vorhersagen können!
Wenn es so schwierig ist, die Zukunft einer Lego-Figur vorherzusagen,
stellen Sie sich vor die Zukunft eines Menschen vorherzusagen!