الفوضى2- سباق الليغو
في 26 أكتوبر 1676
كتب إسحاق نيوتن رسالة
إلى منافسه الكبير لايبنيز.
كان يريد أن يستحضر اكتشافه الكبير،
لكنه كان يريد في نفس الوقت
أن يُبقيّه طي الكتمان.
لذلك فقد أرسل لغزا:
«6a, 2c, d, ae, 13e, 2f, 7i, 3l, 9n, 4o, 4q, 2r, 4s, 8t, 12v, x».
لم يفكّ لايبنيز هذا الخطاب
لكنّ مؤرخي العلوم
تمكنوا من معرفة فحوى الجملة اللاتينية
المختفية وراء مجموعة الرموز هذه:
«Data aequatione quotcunque
fluentes quantitates involvente,
fluxiones invenire et vice versa.»
بالعربية:
"لتكن معادلة
تشمل عددا من المتغيرات،
جد مشتقاتها، والعكس بالعكس."
يتعلق الأمر هنا بالحساب التفاضلي والتكاملي.
كرة من البلور فعالة بشكل لا يصدق
لتوقع المستقبل.
إنه يسمح بحساب
الحركة المستقبلية لنظام
في حال معرفة وضعه الحالي
والقوى المؤثرة عليه.
نقول إننا نحل معادلة تفاضلية
أو إننا نجد حلولها.
لنر ذلك في عالم الليغو.
نوعا ما، عالَم الرياضيات
هو لعبة، حيث كل شيء أبسط
مما هو عليه في الحياة الحقيقية.
عالم أطفال أحيانا.
آثار الأقدام
تدل على الطرقات التي سلكها
الرياضيون،
مساراتهم.
لنفرض أن رياضيينا
يقومون بخطوات بإيقاع منتظم
لكن مع كون هذه الخطوات تارة كبيرة
وتارة أصغر.
عندما يُسرع الليغو
فإن أثرين متتابعين يكونان متباعدين.
عندما يسير ببطء يكون الأثران متقاربين.
السهم الذي يربُط خطوتين متتابعتين
يُشير إلى السرعة.
هي بشكل ما
الفضل، أي الفارق، بين موضعين
في لحظتين متتابعتين.
ومنه كلمة "الحساب التفاضلي".
إنه سباق المائة متر.
من سيفوز؟
! رائع!9'58"
في الواقع،
قلما تكون حركة مكونة من
خطوات غير منتظمة.
أنتم ترون على سبيل المثال هذه السيارات التي تتحرك:
إنها تجري، فهي لا تمشي.
أي معنى سنعطي لسرعتها؟
إحدى الأفكار هي القول، في آخر المطاف،
إن هذا الفيلم يتكون
من 25 صورة في الثانية
بحيث نستطيع أن نتصور بالفعل
أن الدراجة النارية تقوم بـ 25 "خطوة" في الثانية.
وبالتالي نستطيع أن نتكلم عن سرعتها
تماما مثلما كنا نتكلم عن سرعة الليغو.
كان نيوتن يعتبر كل حركة مستمرة
نهاية
لحركات غير منتظمة،
لكن بخطوات تصير صغيرة
بحيث لا يمكن إدراكها، مثلما يحدث في السينما.
حساب سرعة حركة،
هو ما يدعى حساب مشتق.
وهو الهدف من الحساب التفاضلي.
ها هي بعض الحركات.
هذه السهام التي تشير إلى السرعة،
يسميها الرياضياتيون أشعة.
لنتخيل الآن المسألة العكسية.
أنتم ترون سهاها مرسومة
هنا وهناك على البلاط.
نسمي ذلك حقل أشعة.
تخيلوا حقلا من القمح،
لكن بدلا من كل ساق تحمل قمحا
لديكم شعاع.
مهمة جماعة الليغو
هي التحرك بسرعة
مشار إليها بحقل الأشعة.
ستقولون لي هذا سهل!
هم ينظرون تحت أقدامهم،
يرون شعاعا
يعطيهم سرعتهم.
ينطلقون عندئذ في هذا الاتجاه
بهذه السرعة.
بُعيد وقت وجيز
وصلوا إلى نقطة جديدة
بسرعة جديدة.
حينئذ هم ينطلقون في اتجاه جديد
ويكررون ذلك.
المشي، ليس صعبا
يكفي وضع قدم أمام الأخرى
ثم تكرار ذلك!
في الحقيقة
يكون لزاما علينا شرح معنى
"بُعيد وقت وجيز"
وجواب نيوتن كان:
"بعد لحظة غير منتهية في الصغر!"
لقد رأينا
أن حركة مستمرة ليست نفس الشيء
كتعاقب خطوات.
إنها نهاية
عندما تصبح الخطوات أصغر فأصغر.
بدلا من القفز مثل أحد الليغو،
خذوا سيارة
تسير بشكل مستمر.
سترسمون
ما يسمى مسارا؛
وهو منحن مماس في كل نقطة منه لحقل الأشعة.
لديكم حقل أشعة في المستوي
ونقطتان
نزعم أنهما موضعي الانطلاق
لدراجتين ناريتين.
مبرهنة كوشي - لپشيتز
تلخص مفهوم الحتمية:
تدعي هذه المبرهنة أن ذلك يحدد
المسارات المستقبلية.
انطلاقا من كل نقطة،
يوجد مسار وحيد،
موضع بدايته هو هذه النقطة.
لكل نقطة مصيرها،
مختلف بالنسبة إلى كل واحدة.
الليغو يواجه مصيره!
كل ما يستطيع فعله هو أن يتابع مساره،
وبالتالي فمساران كيفيان
لن يلتقيا أبدا.
تحديد المسار
من معرفة
حقل سرعته،
هو عمل الحساب التكاملي
الذي يسلك إذن، الاتجاه المعاكس
للحساب التفاضلي.
ها هي ثلة من الليغو،
جيدة التنظيم
كمثل عسكريين صغار جاهزين للانطلاق.
ها هم يسيرون.
أنتم ترون أن النظام الجميل الأولي
قد اختل.
نقول أحيانا إننا نحدد
سيل الحقل،
كأن جميع هؤلاء الأشخاص
يطفون على نهر،
كل يتبع مساره في خضم التيار.
فكروا في سيل الجنس البشري
هذه المليارات السبع من الليغو تنزلق على الأرض،
أو فكروا في سيل المليارات من المليارات
من المليارات من جزيئات الغلاف الجوي للأرض.
إليكم مثالا بسيطا،
مثالا ساذجا تقريبا،
يكشف لنا ضُعف الحتمية.
شاهدوا حقل الأشعة هذا.
يتقدم الأفراد وكما تلاحظون
فالذين عن اليسار في السطر المركزي
يدورون إلى اليسار،
وكذلك فمن هم عن اليمين
يدورون إلى اليمين.
من ناحية، فالحتمية صحيحة:
كل واحد يتبع مصيره
الذي ليس له عليه أي سيطرة.
لكن من ناحية أخرى
فإن لكل شخصين متجاورين
مصيرين مختلفين إلى حد بعيد.
شيء صغير جدا
يستطيع تغيير المستقبل تماما.
،«Matter and Motion» في الكتاب الصغير
الصادر في 1876،
يؤكد الفيزيائي ماكسويل
على الحساسية بالنسبة إلى الشروط الأولية
في الظواهر الفيزيائية.
إليكم ما كتب في هذا الشأن:
"هناك مقولة مفادها
[...] أن نفس الأسباب تُحدث نفس النتائج
لكن هناك مقولة أخرى
يجب عدم خلطها بالأولى :
تفيد أن أسبابا متشابهة
تُحدث نتائج متشابهة.
ذلك صحيح فقط
عندما تُحدث تغيرات صغيرة
على الشروط الأولية
تغيرات صغيرة
عل الحالة النهائية للجملة.
ذلك صحيح في كثير من الحالات،
إلا أن هناك حالات أخرى حيث
يستطيع تغير أولي صغير أن يُحدث
تغيرات كبيرة على الحالة النهائية."
على سبيل المثال، قد يتسبب فرق صغير
في سرعة سيارة
في وقوع حادث.
هذا الارتباط للمستقبل
بالشروط الأولية
ما هو إلا أحد مظاهر الفوضى.
لكن هناك حالات أكثر تعقيدا.
تخيلوا، على سبيل المثال، حقل أشعة
ليس مرسوما في المستوي
بل في الفضاء.
على سبيل المثال، هذا
الذي ترونه على مستويات
تتحرك إلى الخلف تدريجيا.
الآن ليغوونا لا يمشون
بل يطيرون في مركباتهم الفضائية.
وفي كل لحظة، سرعاتهم
معطاة بحقل الأشعة هذا.
شاهدوا ما ذا سيحدث لليغوينا التعساء!
هذا أكثر فوضوية!
تخيلوا أن أحد الليغو
يريد أن يكون عرافا.
هذا مستحيل مع مثل هذه الجبال الروسية:
ستكون توقعاته مجرد شعوذة.
أين سيكون بعد ساعة؟
لا أحد يستطيع أن يتوقع ذلك أبدا.
إذا كان من الصعب توقع مستقبل واحد من الليغو،
فتخيلوا إذن مستقبل كائن بشري!